数学属于这个世界吗

数学属于这个世界吗 Reuben Hersh 芮虎编译
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       Reuben Hersh 是美国新墨西哥州数学家，和戴维斯合著〔经验数学〕，被称为治疗数学恐惧的百验不爽的灵丹妙药。他的数学科普文章“数学属于这个世界吗？”，将日常生活中的数字提升到哲学高度来思考，所用的语言又是如此通俗易懂，耐人寻味。被译为德文发表在法兰克福汇报10月14日周日版。现转译为中文。全文如下：
       
       何谓数学？多年前当我殚思极虑地准备关于“保持数学的基础”讲课时，这个问题就一直逼问着我。而今，我已经有着二十年教龄，突然认识到，我在讲自己根本一窍不通的东西！
       是的，2＋2＝4。然而，什么是 2？什么是 4 ？加号和等号又是什么意思？你现在当然可以说，2仅仅是两个1加在一起，或者简单地伸出两个指头。然而，你又怎么解释1呢？并且，手指头又能涉及什么呢？我们不可以继续下去了，手指头就是手指头，并非数字。
       
       我开始查阅有关资料，发现：关于 2的问题，数学家和哲学家有着不同的观点。
       一个说 2是一个概念，自古以来就存在着。对于一切数学对象都行之有效。无论是已经发现的，还是正在发现的，或者从未发现的。它们都存在于时间空间的天国的另一面。这种观点被称为柏拉图主义或者现实主义。
       另一个说，1 仅仅是一个不定义的数量。数学是人运用不定的数量来进行逻辑推理。于是，2 仅仅是一个逻辑系统里的符号。这属于形式主义。
       
       还有人说，数学家在自己的头脑里创造了2，3，4和所有数学，（他一次完成就弃之不理呢还是每个早晨创造一个新的？）。这是自觉主义。
       
       对于这三个观点我都无从开始。柏拉图主义的数学天国在我看来只是图画了的迷信。从直觉主义者孤独的数学家那里我看不到数学的真正内涵。至于形式主义所涉及到的：每个和数学打交道的人都知道，它事关概念，即使在不能简单地说关于什么概念的时候也是如此。
       
       数学是真实而重要的。柏拉图主义者相信它的真实和重要是超验的。形式主义者则断定，数学即不需要现实又不需要概念。最后，直觉主义者认为它是一个匿名的数学家的精神创造。他们都企图将数学引入一个轨道，以便拯救其一个失落之物，即绝对的数学信念。于是，我自己尝试回答这个问题：究竟何谓数学？我在不同的作家那里找到了提示：拉卡托斯，维尔德尔，怀特，杜尔克海姆，坡尔雅，恺切尔，厄尔纳斯特，维特根斯坦，皮亚杰，维格特斯基，克莱塞尔，普特纳姆，科纳尔，王。最后，我写了名为〔究竟何谓数学〕的书（What is Mathematics really? 牛津大学出版社1999年版），－－一种对于括兰和鲁宾斯的经典著作〔何谓数学〕的暗示。我的许多朋友都喜欢这本书。不少人却憎恶之。人们将它称为左翼宣传，后现代的相对主义，甚至恐怖主义的怀疑主义。
       
       我是这样看的：传统哲学只知道三类事物：精神的，物质的和超验的。精神的事物只存在于我们的头脑里，我们的感觉中和我们的自我世界里。物质的东西自我运动着，充斥着空间，并具有数量或能量。超验的是上帝。
       
       数字是物质的吗？不，2 没有地方，没有体积，没有数量。它是精神的东西吗？也不。2＋2＝4，无论我是否知道它都存在着。数字在这里供我们使用。它们不是超验的。最后，我们人类可以触及它们并认识它们。超验以外的东西，应该不是精神的就是物质的。数字既不是精神的又不是物质的。怎么办？很简单，打开眼睛看吧！报纸上的新闻既不是精神的又不是物质的。钱币既不是精神的又不是物质的。最后，法律也既不是精神又非物质。在精神和物质间的选择对于社会和文化现实而言是模糊不清的。我们在非超验的事物里需要三种类别，即精神的，物质的和社会的。
       
       那么，现在何谓数字 2 ？它不属于物质，也不属于精神－－那么，属于社会吗？正是如此！数字－及一切数学－－是文化的一部分，思维系统的一部分，属于人类的创造。这种社会创造自然是非自主的。它以人类大脑能力为基础，向经济和技术的需要方向发展，在自己方面建筑在物质世界的特征之上。这个物质世界认识两个对象的数量和九个对象的数量。我自己非常清楚，社会对于精神的和物质.的依赖性。然而，一点是非常明白的：社会文化世界－－及其数学－－并没有把自己归结到精神的或物质的范畴。数学存在于社会和文化之中－－我将这种对于数学本质问题的回答称之为“人文主义”。
       
       对此，有的柏拉图主义者提出反对。他们非常明白，数学为社会文化的一部分，是我们从事的，并随着历史的进程而发展的东西。然而，他们却将之视为陈词滥调，认为如此会将数学的本质问题搞得太复杂。这个本质还应该比较特别和崇高。这里是他们的一个论据：“九个行星围绕太阳旋转。在人类生活在地球之前，它们就已经存在了。因此数字 9是宇宙的一部分，而不是人类的创造。”为了检验这个抗辩，我们必须认真分析“九”这个单词。
       
       在“有九个行星”这句话里，“九”是个形容词。一个修饰语。它起着形容一个物理现实的作用。这些行星的数量是九个。它们发光。每个行星有自己的一定的质量，在固定的轨道上运动等等。这些行星的九的数字是一个物理事实，同它们的质量和轨道一样－－这些也都可以用数学来形容的。
       
       那么，作为名词的九的情况又如何呢？－－这个纯粹的概念 9。她属于全部数字的无穷无尽的大系统。她有一个平方根，高根，及与实数复合数系统的别的因素相关联的无数。她和修饰词九是有联系，然而，她又有不同之处，属于另一个世界。问题就在这里，人们将它们混为一谈。
       
       当人们观察很大的数字的时候，是很容易区别这两种数字，即用来计算物质及非物质的事物的数字和抽象的数字之间的不同。非常非常大的数字在自然界中是遇不到的。它是概念，抽象的数字系统的因素，抽象的数学的因素。我们将自然数字系统称为 N。它是无穷尽的大，是数学的一部分。它不出现在自然界里。N是一个抽象的称谓，一个人类共同拥有的东西。
       
       纯粹的数字是文化的人工品。当我们人类灭绝了，它也随之消亡。（也许，一个什么新的生物的或者电子种类会在未来从我们手里将她承接过去。）另一方面，那九个行星会照常运转，我们存在或者消亡，与之无关。
       
       好。然而，这消亡的人类还会用任何一种形式将这整个的哲学讨论继续下去吗？在学校的课堂里是如此。对于一些中学生和大学生，数学是一个巨大的陌生事物，他们找不到与之产生联系的途径。如果他们的数学教师看到了什么超自然的超人类的东西，只会使其更加困难。一个人道主义的教师处于这种情况，宁肯给予这样的学生以帮助。我以为，如果将数学作为人类的历史和文化的一部分来理解，对人会更好