等差数列与等比数列

基础知识
1．数列的概念
定义1. 按照某一法则，给定了第1个数，第2个数，………，对于正整数有一个确定的数，于是得到一列有次序的数我们称它为数列，用符号表示。数列中的每项称为数列的项，第项称为数列的一般项，又称为数列的通项。
定义2.当一个数列的项数为有限个时，称这个数列为有限数列；当一个数列的项数为无限时，则称这个数列为无限数列。
定义3.对于一个数列，如果从第2项起，每一项都不小于它的前一项，即，这样的数列称为递增数列；如果从第2项起，每一项都不大于它的前一项，即，这样的数列称为递减数列。
定义4.如果数列的每一项的绝对值都小于某一个正数，即，其中是某一个正数，则称这样的数列为有界数列，否则就称为是无界数列。
定义5.如果在数列中，项数与具有如下的函数关系：，则称这个关系为数列的通项公式。
2．等差数列
定义6.一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，常用字母表示。
等差数列具有以下几种性质：
（1）等差数列的通项公式：或；
（2）等差数列的前项和公式：或；
（3）公差非零的等差数列的通项公式为的一次函数；
（4）公差非零的等差数列的前项和公式是关于不含有常数项的二次函数；
（5）设是等差数列，则（是常数）是公差为的等差数列；
（6）设，是等差数列，则（是常数）也是等差数列；
（7）设，是等差数列，且，则也是等差数列（即等差数列中等距离分离出的子数列仍为等差数列）；
（8）若，则；特别地，当时，；
（9）设，，，则有；
（10）对于项数为的等差数列，记分别表示前项中的奇数项的和与偶数项的和，则，；
（11）对于项数为的等差数列，有，；
（12）是等差数列的前项和，则；
（13）其他衍生等差数列：若已知等差数列，公差为，前项和为，则
①．为等差数列，公差为；
②．（即）为等差数列，公差；
③．（即）为等差数列，公差为.
3．等比数列
定义7.一般地，如果有一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于现中一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比；公比通常用字母表示（），即。
等比数列具有以下性质：
（1）等比数列的通项公式：或；
（2）等比数列的前项和公式：；
（3）等比中项：；
（4）无穷递缩等比数列各项公式：对于等比数列的前项和，当无限增大时的极限，叫做这个无穷递缩数列的各项的和，记为，即；
（5）设是等比数列，则（是常数），仍成等比数列；
（6）设，是等比数列，则也是等比数列；
（7）设是等比数列，是等差数列，且则也是等比数列（即等比数列中等距离分离出的子数列仍为等比数列）；
（8）设是正项等比数列，则是等差数列；
（9）若，则；特别地，当时，；
（10）设，，，则有；
（11）其他衍生等比数列：若已知等比数列，公比为，前项和为，则
①．为等比数列，公比为；
②．（即）为等比数列，公比为；
典例分析
例1．设等差数列的首项与公差均为非负整数，项数不小于3，且各项之和为972，则这样的数列有_____________个。
解：设等差数列的首项为，公差为。由已知有，即。又因为，所以只可能取，又因为且均为整数，故；
若，由于为正数，则，即，故，这时有或；
若，则，这时有或。
例2．设，A是S的三元子集，满足：A中元素可以组成等差数列，那么这样的三元子集有___________个。
解：若成等差数列，则，从而首未两项奇偶相同，且首未两项一旦确定，那么等差数列也就随之确定了。但是值得注意的是，虽然成等差数列时，也成等差数列，但它们所对应的是同一个集合A={}。
将S按数的奇偶性分成与两个子集。
从中取出两个数作为等差数列的首未两项，共有种不同的取法；
从中取出两个数作为等差数列的首未两项，共有种不同的取法；
所以共有+种不同的取法。
例3．设，A为至少含有两项且公差为正的等差数列，其项都在S中，且添加S的其它元素于A后均不能构成与A有相同公差的等差数列，求这种A的个数（这里只有两项的数列也看作是等差数列）（1991年全国高中数学联赛二试第一题）
分析：可先对特殊的n（如n=1,2,3）通过列举法求出A的个数，然后总结规律，找出的递推关系，从而解决问题；也可以就A的公差时，讨论A的个数。
解法一：设元素集中满足条件的A有个，则，，……如此下去，可以发现。
事实上，比的A增加的公差为的1个，公差为的1个，……，公差为为偶数)或为奇数）的增加1个，共增加个。
由的递推公式可得个。
解法二：设A的公差为，则，分为两种情况讨论：
（1）当为偶数时，则当时，公差为的A有个，当时，公差为d的A有个，故当n为偶数时，这种A共有
个；
（2）当为奇数时，则当时，公差为的A有个，当时，公差为d的A有个，故当n为奇数时，这种A共有
个；
综合（1）（2）得，所求的A共有个。
例4．将数列依次按每一项，两项，三项，四项循环分成（3），（5，7），（9，11，13），（15，17，19，21），（23），（25，27）,（29，31，33），（35，37，39，41），（43）……，则第100个括号内的各数之和是__________________。
解：每循环一次记为一组，则第100个括号是第25组的第4个括号。而每组中第四个括号内的各数之和构成以72为首项，以80为公差的等差数列，故为所求。
例5．设数列是等差数列，是等比数列，且，，（），又，试求数列的首项与公差。（2000年全国高中数学联赛一试第13题）
分析；题中两个基本量中的首项和公差是所需求的。利用，，成等比数列和给定的极限可列出两个方程，但需注意极限存在的条件。
解：设所求的首项为，公差为。因为，故；又因为成等比数列，故，即，即，化简得：，解得，而，故；
若，则；若，则；
但是存在，可知，于是不合题意，从而只有。于是由
解得，所以，
故数列的首项与公差分别为和。
例6．若复数列的通项公式为
（1）将数列的各项与复平面上的点对应，问从第几项起，以后所有的各项对应的点都落在圆的内部；
（2）将数列中的实数项按原来的顺序排成一个新数列，求数列的通项及所有项的和。
解：（1）设数列的各项在复平面上对应的点的坐标为，则，。
要使点落在圆的内部，
只需，得
即，故从第6项起，以后每一项都落在圆的内部。
（2）要使数列中的项为实数，则，得，
因此数列的通项公式为，
所以，且
故数列是首项为1，公比为的无穷递缩数列，从而数列的所有项的和为：。
例7．已知整数，是1，2，3，……，n的一个排列，求证：不可能构成一个等差数列，也不可能构成一个等比数列。（2006年山东省第二届夏令营试题）
证明：若构成一个等差数列，设其公差为，则，，所以。
而，因为，所以
所以。
于是当时，则，于是

所以，矛盾！
当时，则， 又因为所以，从而。
所以，所以，从而，矛盾！
从而不可能构成一个等差数列。
下证不可能构成一个等比数列。
若构成了一个等比数列，考虑最后三项。
有，所以。
而（，，所以；
当时，显然；
当时，显然  ；
当时，有，知，所以即，所以或4；
当时，只能为1，6，6或2，6，3，但这两个都不是等比数列；
当时，，所以故；又因为，所以矛盾！
所以也不可能构成一个等比数列。
例8．正整数序列按以下方式构成：为某个正数，如果能被5整除，则；如果不能被5整除，，则。证明：数列{}自某一项起，以后各项都不是5的倍数。（2006年山东省第二届夏令营试题）
证明：首先证明中一定在存在相邻的两项，它们都不是5的倍数。
（反证）若不然，数列中任意的两项都是5的倍数。
若，则；
若5  ，则，从而；
所以矛盾！（因为某个正数，不可能大于无穷多个正整数）
从而中一定在相在相邻的两项，它们都不是5的倍数。
设都不是5的倍数，则，其中，
有
因为，所以，所以只能取，即只能取，这说明不是5的倍数。
即从起以后每一项都不是5的倍数。
例9．将与105互质的所有正整数从小到大排成数列，求这个数列的第三1000项。
解：设，，，
则；
；
；
；
；
；
，所以。
在1到105之间与105互质的数有
[
]+[++]
－=105－（35+21+15）+（7+3+5）－1=48
设将与105互质的数从小到大排列起来为数列，则
，，，
这是一个以48为周期的周数列，因为
所以；
而由于，，，，，，，
，；
所以=。
例10．数列的定义如下：，且当时，有 
现已知，求正整数.（2006年山东省第二届夏令营试题）
解：由题设条件知，并由得当n为偶数时，，当n为奇数时，；
由于，知n为偶数；
所以知为奇数；所以知为偶数；
知为奇数；知为偶数；
知为奇数；知为偶数；
知为偶数；知为奇数；
知为偶数；知为奇数；
知为偶数；
所以，所以。