化归思想

来源：百度文库编辑：神马文学网时间：2024/06/13 02:50:24

浅谈高中数学的化归思想[摘要]：化归思想是一个有价值的数学思想，在教学过程中进行合理的渗透符合新课程标准提出的“人人学有价值的数学，人人都能获得必需的数学，不同的人在数学上得到不同的发展”的要求。化归思想有着它的风趣描述和理论基础，化归思想并不是孤立存在的，它与我们其它的各种思想相互联系着，在高中阶段的教学过程我们可以挖掘知识发生过程的化归思想，渗透知识应用过程中的化归思想，加强解题教学，突出化归思想。“授之以鱼，不如传之以渔”、“教是为了不教”数学思想对提高学生数学能力有着重要的作用。时代在发展，思想在更新，，我们教育工作者一定要把学习的主动权化归到学生自身上去。 [关键词]：新课程标准：化归思想：联系：渗透：高中新课程标准提出：“人人学有价值的数学，人人都能获得必需的数学，不同的人在数学上得到不同的发展”。在当今和未来社会的许多行业，直接用到数学知识的机会并不多，更多的是受到数学思想的熏陶和启迪。数学思想就是一个有价值的数学，铭刻在学生头脑中的数学思想，能长久活跃于日常业务中，对于提高学生数学素养有着极大的促进作用。化归思想是我们解决问题的一个重要思想之一，它贯穿于整个数学教学之中，这就需要我们在日常教学中深入地钻研教材，遵循“反复渗透、渐进发展、学生参与”等原则，把潜伏在教材中的“真谛”真正的交给学生，促进学生从“学会”到“会学”能力的形成和积极向上价值观的形成。一、化归思想匈牙利著名数学家路莎·彼得曾做过这样风趣的描述：现有煤气灶、水龙头、水壶和火柴摆在您面前，当您要烧水时，您一定知道先点燃煤气，往水壶里注满水，然后把水壶放在煤气灶上。若水壶已经装满了水，所说问题的其他情况都不变，这时物理学家会说“点燃煤气，再把水壶放上去”。而数学家却会把水壶的水全部倒出，然后声称他已把这一问题化归为前面所说的问题了。这段精彩的描述固然可笑，但也形象地说明了化归思想是数学家思维方式的一个重要手段。我们在分析、处理和解决数学问题时，往往把复杂问题向易解决的方向转化。即化繁为简、化难为易、化不规范为规范、化未知为已知、化此为彼使问题得以解决，便是化归思想。数学问题的解决就是不断的转化的过程，直至转化为熟知的、易解决的问题为止。根据国家教育部考试中心有关人士的提法，高中阶段的基本数学思想包括：方程与函数的思想、分类讨论思想、数形结合思想、化归思想等。在解决问题时，化归思想并不是孤立存在的，它与我们其它的各种思想相互联系着。比如我们在用方程思想解决实际问题时，需将实际问题转化为数学问题，体现了实际问题数学化的化归思想。用函数思想解决数学问题时，主要将特殊问题转化为函数问题；用分类讨论思想解决数学问题时，可把这个数学问题视为一个整体，依据划分标准将整体分为几个部分，对这几个部分进行解答时有时也要借助于化归思想的帮助；用数形结合思想解决数学问题一般是在化归思想的指导下进行几何问题和代数问题之间的相互转化，由“数”定“形”，由“形”定“数”，数形渗透。由此可见，各种数学思想以不同程度交叉体现在我们的教材中。深入的分析教材，借助于多媒体创设问题情境，重视计算机和计算器的使用，鼓励学生独立思考、自主探索、合作交流，关注学生的个人知识和直接经验，既符合新课程标准的精神，又有助于学生自信心、责任感、合作意识、创新精神、求实态度和科学精神的培养。二、化归思想与高中数学教学化归思想既然有如此的内在魅力，我们在教学过程中该如何挑起它那神秘的面纱呢？本人结合自己的教学实践，浅谈以下几点体会：（一）挖掘知识发生过程中的化归思想知识发生的过程是指揭示和建立新旧知识的内在联系，使学生得到新知识，即表层知识规范化的过程。它包括数学的一些现成结果，还包括这些结果的形成过程，如概念的形成过程、问题的发现过程、规律的揭示过程、结论的推导过程、方法的思考过程等。实际上，在这个过程中，蕴于其中的深层知识———化归思想也在同时发生着，教师若能立足于教材，以新课程标准为指导，让学生通过纯数学知识的学习，逐步掌握数学思想，使数学概念与数学思想成螺旋上升，对实现我们数学的“返璞归真”有着重要的意义。例如：在推导出两角差的余弦公式：

后，只要用

代

，则两角和的余弦公式便化归为两角差的余弦公式了。学生只有在数学思想的高度上去“做”数学，才能终身受益。（二）渗透知识应用过程中的化归思想知识的应用过程是指对已有概念、定理、公式、法则和方法的巩固和应用中进一步理解的过程。在这一过程中，教师要发挥其主导作用，将丰富的现实情境引入课堂，鼓励学生发现自己的解题策略，促进同伴间的合作与交流，逐步掌握数学思想，使不同的人在数学上得到不同的发展，从而促进学生对知识的应用。我们可以通过各种方式进行渗透，如在知识体系或变式训练中进行渗透等，但内容设计要有弹性，关注不同的人学习不同数学的学习需要（1）在知识体系中渗透化归思想例如：在学习圆锥曲线与方程时，学生掌握了椭圆的有关知识之后，对于双曲线、抛物线的有关知识的研究方法，完全可以化归到椭圆的研究方法上。这个研究过程最好放手让学生自己去做，教师点拨，这样才能充分发挥学生的潜能，有的放矢。（2）在变式训练中渗透化归思想。例1：已知函数

是定义在

的减函数，且是奇函数。若

，求实数

的取值范围。解：由

得

是定义在

的减函数，

，

即

，解得

变式训练：已知函数

，

，若

，求实数

的取值范围。分析:本题如果使用代入法，即

，这个不等式解决起来很烦，因此不可取。只要对比一下例1，先来判断一下这个函数的单调性和奇偶性，问题便迎韧而解了，即化归为例1的情形了。这时只要教师及时点拨，“当具体函数不好解决时，可借助于抽象函数来帮忙”，学生对此就会产生理性的认识，从而达到深化教学的目的。为加深印象，不妨再补充一题。补充：已知定义在R上的函数

是奇函数。（1）求

的值;（2）若对任意的

，不等式

恒成立，求k的取值范围。我相信，学生只要做完了这道题目，一定会有成就感的。（三）加强解题教学，突出化归思想数学家波利亚曾经强调“中学数学教学的首要任务就是加强解题训练”。与其应付于繁杂的教学过程和过量的题目，还不如选择一道有意义，但又不太复杂的题目去帮助学生深入挖掘题目的各个侧面，使学生通过解决这个问题，从而掌握了所要求的数学内容的同时也形成了那些对人的素质有促进作用的数学思想。这就要求教师在解题教学中精选例题，引导学生开展反思活动，突出数学思想对解题的统摄和指导作用。例2：设z为复数，且

,求

的取值范围。分析：法一，

表示以原点为圆心，2为半径复平面上的点。

表示点Z到点

的距离，由几何意义知，u的最小值为0，最大值为4，即化归为圆的问题.法二，利用复数的性质：

可得。法二，设

，由

得

，所以可采用三角换元法，令

，

即化归为三角函数问题了。（四）提炼和概括复习小结中的化归思想小结和复习是对各小结、各单元、整本书乃至整个高中阶段所学内容系统化、结构化的过程，它具有揭示知识之间内在联系的功能。帮助学生在思维层次上总结归纳各种基本特征、规律；提炼和概括出其中数学思想，有助于学生更好地理解其本质特征。总之，化归思想可以渗透在我们教学的各个阶段，其它数学思想也是如此。“授之以鱼，不如传之以渔”、“教是为了不教”，在教学过程中教师应充分发扬新课程标准的精神，让学生在自主探索、合作交流、积极思考和实践操作的基础上领悟并驾驭数学思想。这样更有利于学生形成良好的数学思维习惯和用数学的意识。教学改革的春风已经吹向中国大地的每一个角落，如何使课堂效果达到最优化，已经提到一个议程，培养学生的自学能力，让学生通过自学、交流合作获得知识已经成为必然。很多事实证明，哪所学校的教师放手让学生自己研究教学内容，哪所学校的学生就有着惊人的解决问题的能力。时代在发展，思想在更新，满堂灌必定要淘汰，我们教育工作者一定要把学生学习的主动权化归到学生自身上去。 参考文献：1肖柏荣、周焕山主编.数学史与数学方法论.成都：成都科技大学出版社，1996（页码：P₂₁₁--- P₂₂₂）2肖柏荣、潘娉姣主编.数学思想方法及数学示例.南京：江苏教育出版社，2000（页码：P₇₉ 、 P₂₀₄--- P₂₂₈）3、南京师范大学主办.数学之友.南京：《数学之友》杂志社，2008，9.（页码：P₈₄）4、南京师范大学主办.数学之友.南京：《数学之友》杂志社，2003，第三期（页码：P₈ 、P₁₃）-

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