神马文学网第五讲 奇数与偶数
来源：百度文库 编辑：神马文学网 时间：2024/06/08 02:03:23
一张画面向上的扑克牌，将它翻动一次，扑克牌就会变成画面向下。再翻动一次，它的画面又会向上。不停地翻动，就会发现，当翻动的次数是2，4，6，8…时，扑克牌的画面向上；当翻动的次数是1，3，5，7，9……时，扑克牌的画面向下。这样，就把整数分成了两类：一类是2，4，6，8，10…叫作偶数；另一类是1，3，5，7，9…叫作奇数。
特别地，0也是偶数。
偶数中只有2是质数，其余都是合数。也就是说，质数中只有2一个偶数，其余都是奇数。
自然数是一奇一偶顺序排列的。两个连续的自然数，必然是一个奇数，一个偶数。
奇数和偶数在运算中表现出不同的特性。一个数在与奇数进行加减运算时，必会改变其奇偶性。即一个奇数加上（或减去）一个奇数，其得数将是一个偶数；一个偶数加上（或减去）一个奇数，其得数将是一个奇数。一个数在与偶数进行加减运算时，必会保持其奇偶性。即一个奇数加上（或减去）一个偶数，其得数将是一个奇数；一个偶数加上（或减去）一个偶数，其得数将是一个偶数。而在进行乘法运算时则不同，任何一个数乘以偶数，都得偶数；而只有奇数乘以奇数时，才得奇数。
我们将以上性质总结如下：
（1）奇数±奇数＝偶数
奇数±偶数＝奇数
偶数±偶数＝偶数
（2）奇数×奇数＝奇数
奇数×偶数＝偶数
偶数×偶数＝偶数
进一步，我们还可以得到：
（3）奇数个奇数相加，和为奇数；
偶数个奇数相加，和为偶数；
任意个偶数相加，和为偶数。
（4）如果两个整数的和为奇数，那么这两个数一定是一奇一偶；
如果两个整数的积为奇数，那么这两个数一定都是奇数。
例1 有5张扑克牌，画面向上。小明每次翻转其中的4张，那么，他能在翻动若干次后，使5张牌的画面都向下吗？
解：只有将一张牌翻动奇数次，才能使它的画面由向上变为向下。要使5张牌的画面都向下，那么每张牌都要翻动奇数次。5个奇数的和为奇数。所以翻动的总张数为奇数时才能使5张牌的牌面都向下。而小明每次翻动4张，不管翻多少次，翻动的总张数都是偶数。所以无论他翻动多少次，都不能使5张牌画面都向下。
例2 有6张扑克牌，画面都向上。小明每次翻转其中的5张，那么，要使6张牌的画面都向下，他至少需要翻动多少次？
解：同上题一样，只有将一张牌翻动奇数次，才能使它由画面向上变为画面向下。要使6张牌的画面都向下，那么每张牌都要翻动奇数次。6个奇数的和为偶数。所以翻动的总张数为偶数时才能使6张牌的牌面都向下。
小明每次翻动5张，只有翻动偶数次时，翻动的总张数才为偶数。
翻动两次时，一张牌最多被翻两次。而要使每张牌画面向下，就要使每张牌翻动的次数是奇数。小于2的奇数只有1。从而要使每张牌画面向下只能翻动6张。而小明翻了5×2＝10张。所以翻两次不能使6张牌画面向下。
翻动4次时，每张牌最多翻4次。而要使每张牌画面向下，就要使每张牌翻动的次数是奇数。小于4的奇数有1和3。即使每张牌都翻动3次，也只翻动了6×3＝18张。而小明翻了5×4＝20张。所以翻4次也不能使6张牌画面都向下。
翻动6次时，可以使6张牌画面都向下。下面给出一种方法：
第一次翻动第1、2、3、4、5张；
第二次翻动第1、2、3、4、6张；
第三次翻动第1、2、3、5、6张；
第四次翻动第1、2、4、5、6张；
第五次翻动第1、3、4、5、6张；
第六次翻动第2、3、4、5、6张。
这样，每张牌都翻动了5次，所以每张牌的画面都向下。
例3 博物馆有并列的5间展室，保安人员在里面巡逻。他每经过一间，就要拉一下这间展室的电灯开关。他从第一间展室开始，走到第二间，再走到第三间…，走到第五间后往回走，走到第四间，再走到第三间…。如果开始时五间展室都亮着灯，那么他走过100个房间后，还有几间亮着灯？
分析：当一个房间的开关被拉动偶数次时，这间房间的灯亮着，反之则熄灭。警卫经过第1、2、3、4、5、4、3、2展室，又从第1展室开始重复这个过程。在这个过程中，2、3、4展室的电灯开关被拉动2次，第1、5展室的开关被拉动1次。
解：100＝8×12＋4
即警卫走了12个来回，并重新走过第l、2、3、4、展室。这时有如下情形：
第1展室的电灯开关被拉动了12＋1＝13（次）；
第2展室的电灯开关被拉动了12×2＋1＝25（次）；
第3展室的电灯开关被拉动了12×2＋1＝25（次）；
第4展室的电灯开关被拉动了12×2＋1＝25（次）；
第5展室的电灯开关被拉动了12次。
所以，第1、2、3、4展室的灯熄灭了，第5展室的灯亮着。
例4 甲盒中放有180个白色围棋子和 181个黑色围棋子，乙盒中放有181个白色围棋子。李平每次任意从甲盒中摸出两个棋子，如果两个棋子同色，他就从乙盒中拿出一个白子放入甲盒；如果两个棋子不同色，他就把黑子放回甲盒。那么他拿多少次后，甲盒中只剩下一个棋子，这个棋子是什么颜色的？
解：不论李平从甲盒中拿出两个什么样的棋子，他总会放一个棋子回甲盒。所以他每拿一次，甲盒中的棋子数就减少一个。所以他拿180＋181－1＝360次后，甲盒里只剩下一个棋子。
如果他拿出的是两个黑子，那么甲盒中的黑子数就减少两个。否则甲盒中的黑子数不变。就是说，李平每次从甲盒中拿出的黑子数是偶数。由于181是奇数，奇数减偶数等于奇数。所以，甲盒中剩下的黑子数应是奇数，不大于1的奇数只有1，所以甲盒里剩下的一个棋子应该是黑子。
例5 图5－1是一张8×8的正方形纸片。将它的左上角一格和右下角一格去掉，剩下的部分能否剪成若干个1×2的长方形纸片？
解：如图5－2我们在方格内顺序地填上奇、偶两字。这时就会发现，要从上长方形纸片，不论怎样剪，都会包含一个奇，一个偶。我们再数一下奇字和偶字的个数，奇字有30个，偶字有32个。所以这张纸不能剪成若干个1×2的长方形纸片。
特别地，0也是偶数。
偶数中只有2是质数，其余都是合数。也就是说，质数中只有2一个偶数，其余都是奇数。
自然数是一奇一偶顺序排列的。两个连续的自然数，必然是一个奇数，一个偶数。
奇数和偶数在运算中表现出不同的特性。一个数在与奇数进行加减运算时，必会改变其奇偶性。即一个奇数加上（或减去）一个奇数，其得数将是一个偶数；一个偶数加上（或减去）一个奇数，其得数将是一个奇数。一个数在与偶数进行加减运算时，必会保持其奇偶性。即一个奇数加上（或减去）一个偶数，其得数将是一个奇数；一个偶数加上（或减去）一个偶数，其得数将是一个偶数。而在进行乘法运算时则不同，任何一个数乘以偶数，都得偶数；而只有奇数乘以奇数时，才得奇数。
我们将以上性质总结如下：
（1）奇数±奇数＝偶数
奇数±偶数＝奇数
偶数±偶数＝偶数
（2）奇数×奇数＝奇数
奇数×偶数＝偶数
偶数×偶数＝偶数
进一步，我们还可以得到：
（3）奇数个奇数相加，和为奇数；
偶数个奇数相加，和为偶数；
任意个偶数相加，和为偶数。
（4）如果两个整数的和为奇数，那么这两个数一定是一奇一偶；
如果两个整数的积为奇数，那么这两个数一定都是奇数。
例1 有5张扑克牌，画面向上。小明每次翻转其中的4张，那么，他能在翻动若干次后，使5张牌的画面都向下吗？
解：只有将一张牌翻动奇数次，才能使它的画面由向上变为向下。要使5张牌的画面都向下，那么每张牌都要翻动奇数次。5个奇数的和为奇数。所以翻动的总张数为奇数时才能使5张牌的牌面都向下。而小明每次翻动4张，不管翻多少次，翻动的总张数都是偶数。所以无论他翻动多少次，都不能使5张牌画面都向下。
例2 有6张扑克牌，画面都向上。小明每次翻转其中的5张，那么，要使6张牌的画面都向下，他至少需要翻动多少次？
解：同上题一样，只有将一张牌翻动奇数次，才能使它由画面向上变为画面向下。要使6张牌的画面都向下，那么每张牌都要翻动奇数次。6个奇数的和为偶数。所以翻动的总张数为偶数时才能使6张牌的牌面都向下。
小明每次翻动5张，只有翻动偶数次时，翻动的总张数才为偶数。
翻动两次时，一张牌最多被翻两次。而要使每张牌画面向下，就要使每张牌翻动的次数是奇数。小于2的奇数只有1。从而要使每张牌画面向下只能翻动6张。而小明翻了5×2＝10张。所以翻两次不能使6张牌画面向下。
翻动4次时，每张牌最多翻4次。而要使每张牌画面向下，就要使每张牌翻动的次数是奇数。小于4的奇数有1和3。即使每张牌都翻动3次，也只翻动了6×3＝18张。而小明翻了5×4＝20张。所以翻4次也不能使6张牌画面都向下。
翻动6次时，可以使6张牌画面都向下。下面给出一种方法：
第一次翻动第1、2、3、4、5张；
第二次翻动第1、2、3、4、6张；
第三次翻动第1、2、3、5、6张；
第四次翻动第1、2、4、5、6张；
第五次翻动第1、3、4、5、6张；
第六次翻动第2、3、4、5、6张。
这样，每张牌都翻动了5次，所以每张牌的画面都向下。
例3 博物馆有并列的5间展室，保安人员在里面巡逻。他每经过一间，就要拉一下这间展室的电灯开关。他从第一间展室开始，走到第二间，再走到第三间…，走到第五间后往回走，走到第四间，再走到第三间…。如果开始时五间展室都亮着灯，那么他走过100个房间后，还有几间亮着灯？
分析：当一个房间的开关被拉动偶数次时，这间房间的灯亮着，反之则熄灭。警卫经过第1、2、3、4、5、4、3、2展室，又从第1展室开始重复这个过程。在这个过程中，2、3、4展室的电灯开关被拉动2次，第1、5展室的开关被拉动1次。
解：100＝8×12＋4
即警卫走了12个来回，并重新走过第l、2、3、4、展室。这时有如下情形：
第1展室的电灯开关被拉动了12＋1＝13（次）；
第2展室的电灯开关被拉动了12×2＋1＝25（次）；
第3展室的电灯开关被拉动了12×2＋1＝25（次）；
第4展室的电灯开关被拉动了12×2＋1＝25（次）；
第5展室的电灯开关被拉动了12次。
所以，第1、2、3、4展室的灯熄灭了，第5展室的灯亮着。
例4 甲盒中放有180个白色围棋子和 181个黑色围棋子，乙盒中放有181个白色围棋子。李平每次任意从甲盒中摸出两个棋子，如果两个棋子同色，他就从乙盒中拿出一个白子放入甲盒；如果两个棋子不同色，他就把黑子放回甲盒。那么他拿多少次后，甲盒中只剩下一个棋子，这个棋子是什么颜色的？
解：不论李平从甲盒中拿出两个什么样的棋子，他总会放一个棋子回甲盒。所以他每拿一次，甲盒中的棋子数就减少一个。所以他拿180＋181－1＝360次后，甲盒里只剩下一个棋子。
如果他拿出的是两个黑子，那么甲盒中的黑子数就减少两个。否则甲盒中的黑子数不变。就是说，李平每次从甲盒中拿出的黑子数是偶数。由于181是奇数，奇数减偶数等于奇数。所以，甲盒中剩下的黑子数应是奇数，不大于1的奇数只有1，所以甲盒里剩下的一个棋子应该是黑子。
例5 图5－1是一张8×8的正方形纸片。将它的左上角一格和右下角一格去掉，剩下的部分能否剪成若干个1×2的长方形纸片？
解：如图5－2我们在方格内顺序地填上奇、偶两字。这时就会发现，要从上长方形纸片，不论怎样剪，都会包含一个奇，一个偶。我们再数一下奇字和偶字的个数，奇字有30个，偶字有32个。所以这张纸不能剪成若干个1×2的长方形纸片。