神马文学网黄金分割
来源：百度文库 编辑：神马文学网 时间：2024/07/01 13:54:10
视觉分割原理
氧化光阴 导言 中国艺术设计科学的发展在不到百年的发展里程中，其教育理论经历的一直是模仿和 借鉴的过程。从最初对日本、而后的欧美表现形式和技法的描摹；到50年代开始的苏联、 东欧教育体系的照搬，直到90年代改革开放后西方设计教育体系的导入。 真正的属于中 国的、适合国情的艺术设计教育理论和体系似乎从没有出现过。 到目前为止，艺术设计中的视觉分割原理还没有得到足够的重视，在日常教学中，往 往把这一重要内容等同于传统美术教学中的构图课程。 进入信息社会以来，艺术设计出现了一个新的重要特征：画面元素的原创性较之传统 的设计大大降低了。无论是平面、环艺还是工造，越来越多的现成样式、贴图、字体是设 计成为一种元素组合的技能。在这种趋势之下，运用视觉元素（尤其是程式元素）组构画 面的能力，几乎成为评判一个设计师优劣的主要标准。 画面中的个体形象仅仅是作为艺术作品的组成成分进入作品的，艺术作品的个体形象 只是一种普通的符号，不管它具有何种简单的或复杂的形式意味，它都只能作为整个艺术 符号的构造成分进入艺术品，他们起的作用就是构造艺术这一具有整体性的符号。也就是 说，艺术作品具有整体性，它的每一个成分都不能离开这个整体而独具意义，每个个体形 象都必须按一定的规律并主观想象合成一个完整的整体形式，才能成为艺术家情感、意象 的载体。由此可知，艺术品的组合、构成就成为一个极其重要的课题，而无论是绘画或是 设计的画面构成都涉及空间的塑造，因此，通过一系列具有创新性的构成手法并在此过程 中加入自己的主观的意念来对画面进行组构，从而塑造一个新颖的、超越现实意义的画面 空间。 那么，视觉元素有什么共同点？ 显而易见：世界的多样性决定了所有世界元素在形式上是不具备共性的，视觉元素所 能够具备的共性，只能是抽象的、形而上的属性，那就是比例规律。 纵观现当代优秀的艺术设计作品，无不以此作为基本的出发点。自然系统中分割与比 例的神秘关系就是设计背后是多么的对称、有序和视觉平衡。 在日常的教学当中，我们发现：学生通常会有极好的设计创意，但是在制作的过程中 却无法充分的表现出来，有时甚至南辕北辙，适得其反。通过交流和分析，我们找出的原 因大部分在于这些学生了解视觉组构、分割的基本原理，如黄金分割、各种根号矩形以及 比率和比例、形体的各种相互关系、各种辅助线。 为了解决这一问题，在教学实践中我采用了实证教学的方法，挑选大量的优秀设计作 品、甚至美术作品来进行分析：从平面作品、工业造型作品到大型建筑、景观作品，选择 在视觉分割中具有规划和组织中存在显著共性的作品，向学生说明视觉分割的基本原理。 比例的物质性 比例是客观存在的、抽象的概念。但是勿庸置疑的是：比例具有物质性。通过多年的 教学实践和对视觉分割课题的思索与研究，笔者认为，人类的视觉，之所以对某些特定的 比例关系会产生审美作用，绝不仅仅是一种文化现象或者审美习惯的传承。 透过生物学、力学、光学而不是美学来观察我们的世界，不难发现作为视觉分割的主 要元素——比例辅助线的直线、一次平滑曲线的封闭状态——矩形和正圆形恰恰是万事万 物在视觉当中构成二维和三维的形状的共性元素。这种元素并不仅限于人类的审美，它也 是动植物这些生命成长方式中显著的比例关系的一部分。 一个基本的教学例证： 贝类的螺旋轮廓线显示成长过程的积淀方式，它已经成为许多科学研究与艺术研究的 课题。贝类的这些成长方式是以各种黄金分割比例形成的对数螺旋线，它们被认为是完美 成长方式的理论。西奥多·安德烈亚斯·库克（Theodore Andreas Cook）在他的《生命 的曲线》（The Curves of Life）一书把这些生长方式描述为“生命的基本过程……”每 一段螺旋线表现了每个生长阶段，新生长的螺旋线非常逼近黄金分割正方形的比例，而且 比原来的大，鹦鹉螺旋线和其他贝类的成长方式，从来都不是精确的黄金分割比例。更确 切地说，在生物成长方式的比例中存在一种趋势，努力接近黄金螺线比例，但是并没有达 到准确的螺旋线的各个比例。
五边形和五角形也具有黄金分割比例，这可以在许多生物中发现，例如海胆等。把五 边形内部细分得到五角星形，并且五角形内任意两线的比例都是黄金分割率1：1.618。 松果和向日葵的螺旋成长方式是相似的。两者的种子都是沿着两个反向旋转的交叉螺 旋线生长的，而且每颗种子都同时属于这两种交叉的螺旋线。通过对松果种子螺旋线的研 究，发现有8条顺时针方向的螺旋线，13条逆时针方向的螺旋线，这个比例非常接近于黄 金分割率。在向日葵的螺旋线中，有21条顺时针方向的螺旋线和34条逆时针方向的螺旋 线，这个比例也接近于黄金分割率。 在松果中发现的数字8和13以及在向日葵中发现的数21和34对数学家们来说是很熟 悉。他们是斐波纳契数列的相邻数。在这个数列中的每个数字都是前两个数字的和：0、 1、1、2、3、5、8、13、21、34、55……这些相邻数字的比例逐步逼近黄金分割率1： 1.618。 由此我们得出这样一个结论：人类对自然得审美是物质性的。是出自对人类身处的世 界的适应，审美绝非主观先验的东西，正如“源于生活，高于生活”一语所阐释。设计应 该是对自然的高级模仿——而这种模仿必须是认知清楚基础之上的主观能动的行为。 在视觉分割原理的教学当中，只有学生了掌握比例的客观性、物质性才能够在其他课 程和艺术设计实践中设计出适合符合基本审美法则的作品。
人体的各种比例 人体像许多动植物一样，也具有黄金分割率。人类对种种黄金分割比例偏好的另一个 原因，也许就是人的面部和身体同样具有在所有生物中所发现的这个数学比例关系。 残存保留下来的、最早的有关人体与建筑比例的研究，是古希腊学者及建筑家马库斯 ·维特鲁威·波利奥（Marcus Vitruvius Pollio）的著述，他更广泛计被称为维特鲁 威。维特鲁威建议，神殿这类建筑物应该采用与完美的人体比例相似的比例构成方式，因 为人体各部分十分和谐。维特鲁威描述了这种比例，并解释说，具有完美比例的人体的身 高与伸展开的手臂的长度是相等的。人体的高度与伸展的手臂的长度形成了一个正方形将 人体围住，而手和脚正好落在以肚脐为圆心的圆上。在此体系中，人体在腹股沟处被等分 为两个部分，肚脐则在黄金分割点上。 15世纪末到16世纪初，文艺复兴时期的艺术家莱昂纳多·达芬奇（Leonardo da Vinci）运用了维特鲁威原理。他既是人体比例体系的追随者，也是这个体系的研究者。 达芬奇为数学家卢卡·帕乔利（Luca Pacioli）的书《完美的比例》（Divina Proportion，1509年）绘制插图。 维持鲁威原理既包含有人体的各种比例，也包含有人类面部的各种比例。这些面部五 官的位置形成了希腊与罗马雕塑的经典比例。 人类和其他生物一样很难达到完美的具有黄金分割的面部及身体比例。艺术家们，尤 其是古希腊人对各种黄金分割比例运用，是系统化和理想化表现人体的一种尝试。
人造比例 除了记载了人体的各种比例，维特鲁威也是一位建筑师，并记载了各种和谐的建筑比 例。他提倡神殿建筑物应该以完美的人体比例为基础，这种和谐的比例存在于人体各个部 分。据信，他提出了模数概念，按照这种方法，用头或脚长度作为一个模数表示人体各个 比例。这种观点贯穿建筑的历史，成为一个重要的思想。 位于雅典（Athens）的帕提农神庙（Parthenon）是一个运用希腊比例体系的实例。 简单分析，帕提农神庙的正面符合多重黄金分割矩形。二次黄金分割矩形构成楣梁、中楣 和山形墙的高度。最大黄金分割矩形中的正方形确定了山形墙的高，图中最小的黄金分割 矩形决定了中楣和楣梁的位置。 几个世纪之后“完美比例”，即黄金分割，被有意识地运用在哥特式（Gothic）大教 堂中。在《走向新建筑》（Towards A New Architecture）书中，柯布西耶引证了巴黎圣 母院（Cathedral of Notre Dame,Paris）正面各种比例中的正方形和圆的作用。包围大 教堂的那个矩形具有黄金分割比例。这个黄金分割矩形中的正方形围住了在大教堂正面主 体部分，二次黄金分割矩形围住了两座塔楼。这些线是两条对角线，在通风窗上方相交， 穿过了在大教堂正面矮墙的拐角。正如结构示意图所表示的那样，中间正门也符合黄金分 割比例。通风窗的直径等于1/4个正方形内切圆的直径。
柯布西耶的各种辅助线 “辅助线是建筑的一种必然元素，对次序也是必要的。辅助线是避免任意性的一种保 证。它可以使人很好地理解设计。这种辅助线是实现目标的一种方法，而不是一种决窍处 方 。辅助线的选择及其他的表达形式是建筑创作的一个整体部分。” 柯布西耶在几何结构和数学的运用上表现出来的兴趣在他的《走向新建筑》一书有所 记载。在这本书中，他探讨了将各种辅助线作为一种在建筑中创造次序和美的方法的必要 性，并回答了针对他“你用你那些辅助线扼杀想像力，你制造了一个开处方的神”的批 评。他回应道，“但是过去已经给我们留下了证据，那些有图例的文献资料、亚麻布、石 器、雕刻过的石头、羊皮纸文稿、手稿、印刷物……甚至最原始的建筑师创造了用手、 脚、前臂作为测量的控制单位，以便使这项工作系统化和次序化。同时，这种结构的比例 符合人的比例。” 柯布西耶把辅助线看作“……灵感的决定性因素之一，它是建筑中重要的操作环节之 一。”后来，在1942年，柯布西耶出版了《模块化：人体比例的和谐度量可以通用于建筑 和机械》一书。
黄金分割矩形的构成 黄金分割矩形具有完美的比例。将一条线段分为两部分，整条线段AB与较长部分AC的 比值与较长部分AC与较短部分BC的比值相同，这个完美的比例就来源自这种线条分割的过 程。这样就给出一个近似值1.61803：1，也可以表示为（1+√5）/2 黄金矩形独特之处在于当它被分割后，得到的图形是一个较小的等比的矩形，分割后 剩下的面积是一个正方形。因为分割得到一个二次黄金矩形和一个正方形的特殊的性质， 黄金矩形被称为“螺旋产生正方形的矩形。”这些等比例减小的正方形能够产生一条螺旋 线，用正方形的边长作为半径可以构成一条螺旋线。
黄金分割的各种比例 三角形黄金分割方法产生了黄金分割矩形的各个边。另外，这种构成方法能产生一系 列圆或正方形，它们彼此符合黄金分割比例。 黄金分割和斐波纳契数列 黄金分割的特殊比例特性与斐波纳契数列有密切关系，这组序列是为比萨（Pisa）的 达芬奇而命名的，他在大约800年前将这个数列与十进起引入欧洲。 这组数列的数字为1、1、2、3、5、8、13、21、34……前面两个数字相加得到第三个 数。例如，1+1=2、1+2=3、2+3=5等。这个数列的比例的形式非常接近与黄金分割的比例 体系。在这组序列中前面的那些数字开始接近黄金分割。该数列中第15个数字后的任一数 字除它后面的那个数字近似于0.618，而这些数字除以它前面的那个数字则近似于1.618。 黄金分割三角形和椭圆 这个黄金三角形是等腰三角形，具有两条相等的边，并以“卓越”三角形而闻名，因 为它的特性类似黄金分割矩形的特性；它是大多数人所喜欢的那种三角形。它很容易从一 个五边形中得到，并且顶角为36°，两个底角为72°。将这个三角的底角与相对的五角形 的顶点相连，这个构能被进一步被分割成另一个黄金三角形。用对角线连接各个顶点将会 产生一个五角星形。这个十边形，外轮廓边共有10条的多边形，通过其中心点意两个相临 顶点的连接将会产生一系列的黄金三角形。 黄金分割随圆形也显示出了与黄金矩形和黄金三形相似的美学性质。就像矩形一样， 它的短轴与长轴的比例为1：1.618. 黄金分割的各种动态矩形 所有的矩形可分为两类：含有如1/2、2/3、3/3、3/4等有理分数比的固定矩形和含有 如√2、√3、√5、黄金分割率等无理分数比率的动态矩形。当那些固定矩形再分割时不 能产生一系列令人视觉怜悯的平面比率。这些分割是可以是被预测的、有规律的而且没有 太多的变化。然而，那些动态矩形分割时能产生无数个令人视觉愉悦和谐分割和平面的比 率，因为它们的比率是由无理数组成。 分割一个动态矩形成一系列和谐图形的过程非常简单。先画出对角线，然后由水平线 和垂线形成的网又构成子图形的边和对角线。 √2矩形 √2矩形具有特殊的性质，能被无限分割为更小的等比矩形。这意味着当一个√2矩形 被二等分时，得到两个较小的√2矩形；当被四等分时，得到四个较小的√2矩形。应该指 出的是√2矩形的比例近似（相当接近）黄金分割率。√2的比例是1：1.414，而黄金分割 的比例是1：1.618。
工业标准中纸张的规格 √2矩形具有特殊的性质，能被无限分割为等比更小的矩形，√2矩形是欧洲DIN纸张 尺寸体系的基础。因此，本书分析的许多欧洲海报也采用了这个比例，将这张纸对折就得 到原来纸张的一半，这张纸被折叠4次就得到4印张或者说是8印刷面，等等。这个标准体 系不仅很简捷，而且最大限度利用纸张没有任何浪费。
各种√2动态矩形 与黄金分割矩形相似，√2矩形也被称为动态矩形，因为像黄金分割矩形一样，能产 生大量分割与组合，这些图形总是符合原始矩形的比例。和谐分割过程包括画对角线、然 后画水平线和垂直线网格以分割四条边及对角线。√2矩形通常被分割为同样大量的内含 小矩形。 √3矩形 正如√2矩形能被分割成相似的矩形，√3、√4和√5矩形也可以被这样分割。这些矩 形既能被横向分割也能被纵向分割。这个√3矩形能被分割为3个垂直的矩形能被分割为3 个水平的矩形，等等。 这个√3矩形具有构成一个正六棱柱结构的特性。这个六边形能在雪花晶体的形状、 蜂巢和自然界许多其他的方面中找到。类似的分割方法还有√4、√5矩形，大致的分割原 理基本雷同，这里就不一一赘述。 至此我们了解了视觉分割的基本的原理，在日常教学中我们除了运用这些基本原理来 要求学生的作业之外，更为重要的教学手段是通过实证教学向学生介绍如何合理运用视觉 分割原理来分析设计作品。 例一：甲壳虫汽车。 该车外造型符合优美黄金分割椭圆的上半部分。侧窗重复了黄金分割椭圆形状，车门 在一个正方形里，符合一个黄金分割矩形，后车窗符合黄金分割矩形的倒易部分。泊车外 观造型的各处细节变化部分都与黄金分割椭圆和正圆相切。甚至天线的定位都是与前车轮 轮井外圆相切。 这部车的正视图大体上是一个正方形，表面各个细节都对称。引擎盖上的大众公司的 标志在正方形中心。结构示意图中，一个黄金分割椭圆与一个黄金分割矩形内接，车体正 好处在黄分割椭圆的一半部分，椭圆长轴刚好在车轮中轴下部。第二个黄金侵害椭圆围绕 着汽车侧窗，该椭圆同时与前轮轮井和后轮相切，椭圆长轴与前后轮轮井相切。
例二：浙江大学LOGO。 在对称造型当中，研究比例的规律式对形状起止和边缘位置判断的过程。我们不难发 现，“求是鹰”的翼展和尾翼之间的黄金分割关系。隐藏在尾翼与头部连接线右侧的逆向 的√2分割更加耐人寻味。
柯布西耶在1931年说过“人类已经发现了许多韵律，这些韵律对人眼是明显的，它们 之间的彼此关系是十分清楚的。这些韵律是人类各种活动的原本基础。人类用有机必然性 来赞扬它，同样也赞扬纯粹的必然性，它使得儿童、老人、未受过教育的人及受过教育的 人们都能描绘出黄金分割。”这，也许就是我们视觉分割原理课程的意义所在吧。
氧化光阴 导言 中国艺术设计科学的发展在不到百年的发展里程中，其教育理论经历的一直是模仿和 借鉴的过程。从最初对日本、而后的欧美表现形式和技法的描摹；到50年代开始的苏联、 东欧教育体系的照搬，直到90年代改革开放后西方设计教育体系的导入。 真正的属于中 国的、适合国情的艺术设计教育理论和体系似乎从没有出现过。 到目前为止，艺术设计中的视觉分割原理还没有得到足够的重视，在日常教学中，往 往把这一重要内容等同于传统美术教学中的构图课程。 进入信息社会以来，艺术设计出现了一个新的重要特征：画面元素的原创性较之传统 的设计大大降低了。无论是平面、环艺还是工造，越来越多的现成样式、贴图、字体是设 计成为一种元素组合的技能。在这种趋势之下，运用视觉元素（尤其是程式元素）组构画 面的能力，几乎成为评判一个设计师优劣的主要标准。 画面中的个体形象仅仅是作为艺术作品的组成成分进入作品的，艺术作品的个体形象 只是一种普通的符号，不管它具有何种简单的或复杂的形式意味，它都只能作为整个艺术 符号的构造成分进入艺术品，他们起的作用就是构造艺术这一具有整体性的符号。也就是 说，艺术作品具有整体性，它的每一个成分都不能离开这个整体而独具意义，每个个体形 象都必须按一定的规律并主观想象合成一个完整的整体形式，才能成为艺术家情感、意象 的载体。由此可知，艺术品的组合、构成就成为一个极其重要的课题，而无论是绘画或是 设计的画面构成都涉及空间的塑造，因此，通过一系列具有创新性的构成手法并在此过程 中加入自己的主观的意念来对画面进行组构，从而塑造一个新颖的、超越现实意义的画面 空间。 那么，视觉元素有什么共同点？ 显而易见：世界的多样性决定了所有世界元素在形式上是不具备共性的，视觉元素所 能够具备的共性，只能是抽象的、形而上的属性，那就是比例规律。 纵观现当代优秀的艺术设计作品，无不以此作为基本的出发点。自然系统中分割与比 例的神秘关系就是设计背后是多么的对称、有序和视觉平衡。 在日常的教学当中，我们发现：学生通常会有极好的设计创意，但是在制作的过程中 却无法充分的表现出来，有时甚至南辕北辙，适得其反。通过交流和分析，我们找出的原 因大部分在于这些学生了解视觉组构、分割的基本原理，如黄金分割、各种根号矩形以及 比率和比例、形体的各种相互关系、各种辅助线。 为了解决这一问题，在教学实践中我采用了实证教学的方法，挑选大量的优秀设计作 品、甚至美术作品来进行分析：从平面作品、工业造型作品到大型建筑、景观作品，选择 在视觉分割中具有规划和组织中存在显著共性的作品，向学生说明视觉分割的基本原理。 比例的物质性 比例是客观存在的、抽象的概念。但是勿庸置疑的是：比例具有物质性。通过多年的 教学实践和对视觉分割课题的思索与研究，笔者认为，人类的视觉，之所以对某些特定的 比例关系会产生审美作用，绝不仅仅是一种文化现象或者审美习惯的传承。 透过生物学、力学、光学而不是美学来观察我们的世界，不难发现作为视觉分割的主 要元素——比例辅助线的直线、一次平滑曲线的封闭状态——矩形和正圆形恰恰是万事万 物在视觉当中构成二维和三维的形状的共性元素。这种元素并不仅限于人类的审美，它也 是动植物这些生命成长方式中显著的比例关系的一部分。 一个基本的教学例证： 贝类的螺旋轮廓线显示成长过程的积淀方式，它已经成为许多科学研究与艺术研究的 课题。贝类的这些成长方式是以各种黄金分割比例形成的对数螺旋线，它们被认为是完美 成长方式的理论。西奥多·安德烈亚斯·库克（Theodore Andreas Cook）在他的《生命 的曲线》（The Curves of Life）一书把这些生长方式描述为“生命的基本过程……”每 一段螺旋线表现了每个生长阶段，新生长的螺旋线非常逼近黄金分割正方形的比例，而且 比原来的大，鹦鹉螺旋线和其他贝类的成长方式，从来都不是精确的黄金分割比例。更确 切地说，在生物成长方式的比例中存在一种趋势，努力接近黄金螺线比例，但是并没有达 到准确的螺旋线的各个比例。
五边形和五角形也具有黄金分割比例，这可以在许多生物中发现，例如海胆等。把五 边形内部细分得到五角星形，并且五角形内任意两线的比例都是黄金分割率1：1.618。 松果和向日葵的螺旋成长方式是相似的。两者的种子都是沿着两个反向旋转的交叉螺 旋线生长的，而且每颗种子都同时属于这两种交叉的螺旋线。通过对松果种子螺旋线的研 究，发现有8条顺时针方向的螺旋线，13条逆时针方向的螺旋线，这个比例非常接近于黄 金分割率。在向日葵的螺旋线中，有21条顺时针方向的螺旋线和34条逆时针方向的螺旋 线，这个比例也接近于黄金分割率。 在松果中发现的数字8和13以及在向日葵中发现的数21和34对数学家们来说是很熟 悉。他们是斐波纳契数列的相邻数。在这个数列中的每个数字都是前两个数字的和：0、 1、1、2、3、5、8、13、21、34、55……这些相邻数字的比例逐步逼近黄金分割率1： 1.618。 由此我们得出这样一个结论：人类对自然得审美是物质性的。是出自对人类身处的世 界的适应，审美绝非主观先验的东西，正如“源于生活，高于生活”一语所阐释。设计应 该是对自然的高级模仿——而这种模仿必须是认知清楚基础之上的主观能动的行为。 在视觉分割原理的教学当中，只有学生了掌握比例的客观性、物质性才能够在其他课 程和艺术设计实践中设计出适合符合基本审美法则的作品。 人体的各种比例 人体像许多动植物一样，也具有黄金分割率。人类对种种黄金分割比例偏好的另一个 原因，也许就是人的面部和身体同样具有在所有生物中所发现的这个数学比例关系。 残存保留下来的、最早的有关人体与建筑比例的研究，是古希腊学者及建筑家马库斯 ·维特鲁威·波利奥（Marcus Vitruvius Pollio）的著述，他更广泛计被称为维特鲁 威。维特鲁威建议，神殿这类建筑物应该采用与完美的人体比例相似的比例构成方式，因 为人体各部分十分和谐。维特鲁威描述了这种比例，并解释说，具有完美比例的人体的身 高与伸展开的手臂的长度是相等的。人体的高度与伸展的手臂的长度形成了一个正方形将 人体围住，而手和脚正好落在以肚脐为圆心的圆上。在此体系中，人体在腹股沟处被等分 为两个部分，肚脐则在黄金分割点上。 15世纪末到16世纪初，文艺复兴时期的艺术家莱昂纳多·达芬奇（Leonardo da Vinci）运用了维特鲁威原理。他既是人体比例体系的追随者，也是这个体系的研究者。 达芬奇为数学家卢卡·帕乔利（Luca Pacioli）的书《完美的比例》（Divina Proportion，1509年）绘制插图。 维持鲁威原理既包含有人体的各种比例，也包含有人类面部的各种比例。这些面部五 官的位置形成了希腊与罗马雕塑的经典比例。 人类和其他生物一样很难达到完美的具有黄金分割的面部及身体比例。艺术家们，尤 其是古希腊人对各种黄金分割比例运用，是系统化和理想化表现人体的一种尝试。 人造比例 除了记载了人体的各种比例，维特鲁威也是一位建筑师，并记载了各种和谐的建筑比 例。他提倡神殿建筑物应该以完美的人体比例为基础，这种和谐的比例存在于人体各个部 分。据信，他提出了模数概念，按照这种方法，用头或脚长度作为一个模数表示人体各个 比例。这种观点贯穿建筑的历史，成为一个重要的思想。 位于雅典（Athens）的帕提农神庙（Parthenon）是一个运用希腊比例体系的实例。 简单分析，帕提农神庙的正面符合多重黄金分割矩形。二次黄金分割矩形构成楣梁、中楣 和山形墙的高度。最大黄金分割矩形中的正方形确定了山形墙的高，图中最小的黄金分割 矩形决定了中楣和楣梁的位置。 几个世纪之后“完美比例”，即黄金分割，被有意识地运用在哥特式（Gothic）大教 堂中。在《走向新建筑》（Towards A New Architecture）书中，柯布西耶引证了巴黎圣 母院（Cathedral of Notre Dame,Paris）正面各种比例中的正方形和圆的作用。包围大 教堂的那个矩形具有黄金分割比例。这个黄金分割矩形中的正方形围住了在大教堂正面主 体部分，二次黄金分割矩形围住了两座塔楼。这些线是两条对角线，在通风窗上方相交， 穿过了在大教堂正面矮墙的拐角。正如结构示意图所表示的那样，中间正门也符合黄金分 割比例。通风窗的直径等于1/4个正方形内切圆的直径。 柯布西耶的各种辅助线 “辅助线是建筑的一种必然元素，对次序也是必要的。辅助线是避免任意性的一种保 证。它可以使人很好地理解设计。这种辅助线是实现目标的一种方法，而不是一种决窍处 方 。辅助线的选择及其他的表达形式是建筑创作的一个整体部分。” 柯布西耶在几何结构和数学的运用上表现出来的兴趣在他的《走向新建筑》一书有所 记载。在这本书中，他探讨了将各种辅助线作为一种在建筑中创造次序和美的方法的必要 性，并回答了针对他“你用你那些辅助线扼杀想像力，你制造了一个开处方的神”的批 评。他回应道，“但是过去已经给我们留下了证据，那些有图例的文献资料、亚麻布、石 器、雕刻过的石头、羊皮纸文稿、手稿、印刷物……甚至最原始的建筑师创造了用手、 脚、前臂作为测量的控制单位，以便使这项工作系统化和次序化。同时，这种结构的比例 符合人的比例。” 柯布西耶把辅助线看作“……灵感的决定性因素之一，它是建筑中重要的操作环节之 一。”后来，在1942年，柯布西耶出版了《模块化：人体比例的和谐度量可以通用于建筑 和机械》一书。 黄金分割矩形的构成 黄金分割矩形具有完美的比例。将一条线段分为两部分，整条线段AB与较长部分AC的 比值与较长部分AC与较短部分BC的比值相同，这个完美的比例就来源自这种线条分割的过 程。这样就给出一个近似值1.61803：1，也可以表示为（1+√5）/2 黄金矩形独特之处在于当它被分割后，得到的图形是一个较小的等比的矩形，分割后 剩下的面积是一个正方形。因为分割得到一个二次黄金矩形和一个正方形的特殊的性质， 黄金矩形被称为“螺旋产生正方形的矩形。”这些等比例减小的正方形能够产生一条螺旋 线，用正方形的边长作为半径可以构成一条螺旋线。 黄金分割的各种比例 三角形黄金分割方法产生了黄金分割矩形的各个边。另外，这种构成方法能产生一系 列圆或正方形，它们彼此符合黄金分割比例。 黄金分割和斐波纳契数列 黄金分割的特殊比例特性与斐波纳契数列有密切关系，这组序列是为比萨（Pisa）的 达芬奇而命名的，他在大约800年前将这个数列与十进起引入欧洲。 这组数列的数字为1、1、2、3、5、8、13、21、34……前面两个数字相加得到第三个 数。例如，1+1=2、1+2=3、2+3=5等。这个数列的比例的形式非常接近与黄金分割的比例 体系。在这组序列中前面的那些数字开始接近黄金分割。该数列中第15个数字后的任一数 字除它后面的那个数字近似于0.618，而这些数字除以它前面的那个数字则近似于1.618。 黄金分割三角形和椭圆 这个黄金三角形是等腰三角形，具有两条相等的边，并以“卓越”三角形而闻名，因 为它的特性类似黄金分割矩形的特性；它是大多数人所喜欢的那种三角形。它很容易从一 个五边形中得到，并且顶角为36°，两个底角为72°。将这个三角的底角与相对的五角形 的顶点相连，这个构能被进一步被分割成另一个黄金三角形。用对角线连接各个顶点将会 产生一个五角星形。这个十边形，外轮廓边共有10条的多边形，通过其中心点意两个相临 顶点的连接将会产生一系列的黄金三角形。 黄金分割随圆形也显示出了与黄金矩形和黄金三形相似的美学性质。就像矩形一样， 它的短轴与长轴的比例为1：1.618. 黄金分割的各种动态矩形 所有的矩形可分为两类：含有如1/2、2/3、3/3、3/4等有理分数比的固定矩形和含有 如√2、√3、√5、黄金分割率等无理分数比率的动态矩形。当那些固定矩形再分割时不 能产生一系列令人视觉怜悯的平面比率。这些分割是可以是被预测的、有规律的而且没有 太多的变化。然而，那些动态矩形分割时能产生无数个令人视觉愉悦和谐分割和平面的比 率，因为它们的比率是由无理数组成。 分割一个动态矩形成一系列和谐图形的过程非常简单。先画出对角线，然后由水平线 和垂线形成的网又构成子图形的边和对角线。 √2矩形 √2矩形具有特殊的性质，能被无限分割为更小的等比矩形。这意味着当一个√2矩形 被二等分时，得到两个较小的√2矩形；当被四等分时，得到四个较小的√2矩形。应该指 出的是√2矩形的比例近似（相当接近）黄金分割率。√2的比例是1：1.414，而黄金分割 的比例是1：1.618。 工业标准中纸张的规格 √2矩形具有特殊的性质，能被无限分割为等比更小的矩形，√2矩形是欧洲DIN纸张 尺寸体系的基础。因此，本书分析的许多欧洲海报也采用了这个比例，将这张纸对折就得 到原来纸张的一半，这张纸被折叠4次就得到4印张或者说是8印刷面，等等。这个标准体 系不仅很简捷，而且最大限度利用纸张没有任何浪费。 各种√2动态矩形 与黄金分割矩形相似，√2矩形也被称为动态矩形，因为像黄金分割矩形一样，能产 生大量分割与组合，这些图形总是符合原始矩形的比例。和谐分割过程包括画对角线、然 后画水平线和垂直线网格以分割四条边及对角线。√2矩形通常被分割为同样大量的内含 小矩形。 √3矩形 正如√2矩形能被分割成相似的矩形，√3、√4和√5矩形也可以被这样分割。这些矩 形既能被横向分割也能被纵向分割。这个√3矩形能被分割为3个垂直的矩形能被分割为3 个水平的矩形，等等。 这个√3矩形具有构成一个正六棱柱结构的特性。这个六边形能在雪花晶体的形状、 蜂巢和自然界许多其他的方面中找到。类似的分割方法还有√4、√5矩形，大致的分割原 理基本雷同，这里就不一一赘述。 至此我们了解了视觉分割的基本的原理，在日常教学中我们除了运用这些基本原理来 要求学生的作业之外，更为重要的教学手段是通过实证教学向学生介绍如何合理运用视觉 分割原理来分析设计作品。 例一：甲壳虫汽车。 该车外造型符合优美黄金分割椭圆的上半部分。侧窗重复了黄金分割椭圆形状，车门 在一个正方形里，符合一个黄金分割矩形，后车窗符合黄金分割矩形的倒易部分。泊车外 观造型的各处细节变化部分都与黄金分割椭圆和正圆相切。甚至天线的定位都是与前车轮 轮井外圆相切。 这部车的正视图大体上是一个正方形，表面各个细节都对称。引擎盖上的大众公司的 标志在正方形中心。结构示意图中，一个黄金分割椭圆与一个黄金分割矩形内接，车体正 好处在黄分割椭圆的一半部分，椭圆长轴刚好在车轮中轴下部。第二个黄金侵害椭圆围绕 着汽车侧窗，该椭圆同时与前轮轮井和后轮相切，椭圆长轴与前后轮轮井相切。 例二：浙江大学LOGO。 在对称造型当中，研究比例的规律式对形状起止和边缘位置判断的过程。我们不难发 现，“求是鹰”的翼展和尾翼之间的黄金分割关系。隐藏在尾翼与头部连接线右侧的逆向 的√2分割更加耐人寻味。 柯布西耶在1931年说过“人类已经发现了许多韵律，这些韵律对人眼是明显的，它们 之间的彼此关系是十分清楚的。这些韵律是人类各种活动的原本基础。人类用有机必然性 来赞扬它，同样也赞扬纯粹的必然性，它使得儿童、老人、未受过教育的人及受过教育的 人们都能描绘出黄金分割。”这，也许就是我们视觉分割原理课程的意义所在吧。