神马文学网构造法求数列的通项公式
来源：百度文库 编辑：神马文学网 时间：2024/07/08 21:15:45
利津二中 刘志兰
在数列求通项的有关问题中，经常遇到即非等差数列，又非等比数列的求通项问题，特别是给出的数列相邻两项是线性关系的题型，在老教材中，可以通过不完全归纳法进行归纳、猜想，然后借助于数学归纳法予以证明，但新教材中，由于删除了数学归纳法，因而我们遇到这类问题，就要避免用数学归纳法。这里我向大家介绍一种解题方法——构造等比数列或等差数列求通项公式。
构造法就是在解决某些数学问题的过程中，通过对条件与结论的充分剖析，有时会联想出一种适当的辅助模型，以此促成命题转换，产生新的解题方法，这种思维方法的特点就是“构造”.若已知条件给的是数列的递推公式要求出该数列的通项公式，此类题通常较难，但使用构造法往往给人耳目一新的感觉. 供参考。
1、构造等差数列或等比数列
由于等差数列与等比数列的通项公式显然，对于一些递推数列问题，若能构造等差数列或等比数列，无疑是一种行之有效的构造方法.
例1 设各项均为正数的数列
的前n项和为Sn，对于任意正整数n，都有等式：
成立，求的通项an.
解：
， ∴
，∵
，∴
.
即是以2为公差的等差数列，且
.
∴
例2 数列中前n项的和
，求数列的通项公式
.
解：∵
当n≥2时，
令
，则
，且
是以
为公比的等比数列，
∴
.
2、构造差式与和式
解题的基本思路就是构造出某个数列的相邻两项之差，然后采用迭加的方法就可求得这一数列的通项公式.
例3 设是首项为1的正项数列，且
，（n∈N*），求数列的通项公式an.
解：由题设得
.
∵
，
，∴
.
∴
.
例4 数列中，
，且
，（n∈N*），求通项公式an.
解：∵
∴
（n∈N*）
3、构造商式与积式
构造数列相邻两项的商式，然后连乘也是求数列通项公式的一种简单方法.
例5 数列中，
，前n项的和
，求
.
解：
，
∴
∴
4、构造对数式或倒数式
有些数列若通过取对数，取倒数代数变形方法，可由复杂变为简单，使问题得以解决.
例6 设正项数列满足
，
（n≥2）.求数列的通项公式.
解：两边取对数得：
，
，设
，则
是以2为公比的等比数列，
.
，
，
，
∴
例7 已知数列中，
，n≥2时
，求通项公式.
解：∵
，两边取倒数得
.
可化为等差数列关系式.
∴
在数列求通项的有关问题中，经常遇到即非等差数列，又非等比数列的求通项问题，特别是给出的数列相邻两项是线性关系的题型，在老教材中，可以通过不完全归纳法进行归纳、猜想，然后借助于数学归纳法予以证明，但新教材中，由于删除了数学归纳法，因而我们遇到这类问题，就要避免用数学归纳法。这里我向大家介绍一种解题方法——构造等比数列或等差数列求通项公式。
构造法就是在解决某些数学问题的过程中，通过对条件与结论的充分剖析，有时会联想出一种适当的辅助模型，以此促成命题转换，产生新的解题方法，这种思维方法的特点就是“构造”.若已知条件给的是数列的递推公式要求出该数列的通项公式，此类题通常较难，但使用构造法往往给人耳目一新的感觉. 供参考。
1、构造等差数列或等比数列
由于等差数列与等比数列的通项公式显然，对于一些递推数列问题，若能构造等差数列或等比数列，无疑是一种行之有效的构造方法.
例1 设各项均为正数的数列
的前n项和为Sn，对于任意正整数n，都有等式：成立，求的通项an.解：
， ∴，∵，∴.即
是以2为公差的等差数列，且.∴
例2 数列
中前n项的和，求数列的通项公式.解：∵
当n≥2时，
令
，则，且是以为公比的等比数列，∴
.2、构造差式与和式
解题的基本思路就是构造出某个数列的相邻两项之差，然后采用迭加的方法就可求得这一数列的通项公式.
例3 设
是首项为1的正项数列，且，（n∈N*），求数列的通项公式an.解：由题设得
.∵
，，∴.∴
.例4 数列
中，，且，（n∈N*），求通项公式an.解：∵
∴
（n∈N*）3、构造商式与积式
构造数列相邻两项的商式，然后连乘也是求数列通项公式的一种简单方法.
例5 数列
中，，前n项的和，求.解：
，∴
∴
4、构造对数式或倒数式
有些数列若通过取对数，取倒数代数变形方法，可由复杂变为简单，使问题得以解决.
例6 设正项数列
满足，（n≥2）.求数列的通项公式.解：两边取对数得：
，，设，则是以2为公比的等比数列，.，，，∴
例7 已知数列
中，，n≥2时，求通项公式.解：∵
，两边取倒数得.可化为等差数列关系式.
∴