印度数学奇才拉马努金--日積月累

您的查询字词都已标明如下：印度数学  (点击查询词，可以跳到它在文中首次出现的位置)
如果打开速度慢，您可以尝试打开无图片的快照； 如果您想保存该页面，可以添加到搜藏
(百度和网页http://www.blog.edu.cn/user3/cutmiss/archives/2006/1518654.shtml的作者无关，不对其内容负责。百度快照谨为网络故障时之索引，不代表被搜索网站的即时页面。)
   日積月累
   2006 - 10 >  >> 日 一 二 三 四 五 六
1 2 3 45 6 7
8 9 10 11 12 13 14
15 16 17 18 19 20 21
22 23 24 25 26 27 28
29 30 31
 
公告
登錄
我的分类（专题）
首页相册标签
人物和历史(10)
問題和解答(0)
數學分析(1)
實分析(7)
泛函分析(1)
數學競賽(0)
文檔下載(3)
日志更新
链接
 

自从16世纪以来，剑桥大学一直是英国的最高学府，在她拥有的种种优良学术传统中，有两点至关重要，那便是精英意识和团队精神。前者的典范是卢卡斯数学教授和卡文迪什实验物理学教授职位的设立和聘请．后者则表现为这所大学的大门始终向全世界的英才敞开。1912年，23岁 的奥地利工科大学生维特根斯坦应邀来到了剑桥，与那个时代最伟大的两位哲学大师罗素和摩尔密切共事。两年以后，来自印度南方马德拉斯港务局的小职员拉马努 金也被请到了剑桥，与两位正处于事业颠峰的数学巨匠哈代和李特尔伍德开始了天作之合。不到四年，拉马努金也和他的两位同事一样，名字后面有了一个记号F．R．S.，即英国皇家学会会员，那年他刚满30岁。
在新千年到来之际，美国《时代》周刊评选出20世纪100位最具影。向力的人物中，维特根斯坦是唯一人选的哲学家。《时代》还特别提到拉马努金这位公认的一千年来印度最伟大的数学家。从尼赫鲁到英迪拉－甘地，历任印度首相都对拉马努金予以褒扬。他被誉为“印度之子”，与诗人泰戈尔并驾齐驱成为印度最受尊敬和爱戴的人物。到1987年 即拉马努金诞生一百周年之际，印度已拍摄了三部有关他生平的电影，美国佛罗里达州开始出版《拉马努金杂志》，并成立了一个国际性的拉马努金数学会。在拉马 努金的故乡马德拉斯，当容纳他最后一年心血的遗著《失散的笔记本》出版时，拉吉夫－甘地总理亲自赶来祝贺并参加了首发式。
德国数学家克莱因曾经说过，“推进数学的，主要是那些有卓越直觉的人，而不是以严格的证明方法见长的人。”无疑，拉马努金正是一位有着卓越的数学直觉的天才，而哈代则教会他证明和严格性，同时保证他的创造性的思想之源畅通。当有人问起他一生最重要的贡献是什么，他回答说，“发现拉马努金o，’在拉马努金故世多年以后，哈代亲自设计㈩一种计算一个人数学天分的评分表，他自己得了25分，李特尔伍德得了30分，同时代最伟大的德国数学家希尔伯特得了80分，而拉马努金则得了满分100分!
除 了在纯粹数学方面做出卓越的成就以外，拉马努金的理论还得到了广泛的应用。他发现的好几个定理在包括粒子物理、统计力学、计算机科学、密码学理论和空间旅 行等不同领域起着相当重要的作用，甚至晶体和塑料的研制也受到他创立的整数分拆理论的启发，而他在模形式领域的：厂作则是目前相当流行的超弦理论不可或缺 的，他生命中最后一项成果－仿9函数－甚至有力地推动了用孤立波理论来研究癌细胞的恶化和扩散。1962年，当印度邮政局发行纪念拉马努金的邮票时，着实费劲地说明了他另一项工作的应用潜力，“他在黎曼(函数方面的研究成果，现在已经与齿轮技术的进步挂上了钩，还被用于测温学和炉子的改进，以便用来制造更好的高炉。
”受宠的“独生子”
在有着“圣雄”、“印度国父”之谓的穆罕穆德?甘地前往英国留学的那一年，即1887年12月22日，斯里尼瓦萨?拉 马努金出生在印度南方泰米尔纳德邦高韦尔河畔的小镇埃罗德，这是他母亲的娘家。高韦尔河是南印度的恒河。满周岁后，按照当地的习俗，拉马努金随母亲搬回到 下游二百多公里处的城市贡伯戈纳姆，那里曾是历时一千多年、领土一度扩张至锡兰和马来群岛的朱罗王朝的古都，离开如今的邦府、南方第一大城市马德拉斯大约320公里。拉马努金的父亲在一家卖纱丽的店里作伙计，月收入仅20多个卢比。为补贴家用，母亲只好到附近的印度教寺庙里唱圣歌，募到的钱一半归庙堂，一半归自己。
南印度的天气闷热而潮湿，两岁的时候，拉马努金不幸患上了天花。拉马努金的天花斑痕一生都没有褪掉，他能够活下来已经够幸运了。与此同时，从五岁踏入校门开始，拉马努金便显示㈩异常的天资，他常常提出怪异的问题。例如，谁是这个世界上的第一人?两朵云之间究竟有多远?另一方面，由于接连三个弟妹都在一两岁时夭折，他被养成了受宠的独生子的习性，既敏感又固执，吃得肥头大耳的，还有许多怪僻。幼时拉马努金只在庙里才吃东西，回到家里常常把铜盆铁锅一字儿沿墙摆开，如果没有吃到喜欢的东西．就在烂泥里打滚发脾气。
即 使在学校里，拉马努金也好不了多少，他总是千方百计地逃学，有时家里竟然要请警察帮助将其捉拿回去。对拉马努金来说，学校不是一个启蒙的地方．而是一条竭 力想摆脱的锁链。尽管如此，拉马努金的学习成绩相当优异，在他快满十岁的时候，轻松地以全地区第一名的成绩通过了小学毕业考试，考试科目包括英文、泰米尔 文、算术和地理，他因此得以进入历史悠久、用英文授课的市立中学。
接下来的六年时间拉马努金均是在这所学校里度过，相当于中国的初中和高中。上二年级时，同学们纷纷找他帮助解题。到了三年级，他开始找老师的麻烦。有一次，数学老师说任何一个数自身相除一定等于1，例如，3个人分3只苹果，每个人得到一只；1000个人分1000只苹果，每个人也得到一只。拉马努金站起来问，0除0是否也等于O?没有苹果也没有人分是否每个人都得到1只?后来，因为数学的缘故，拉马努金变得安静而有修养了。14岁的时候，一些同学便开始认为他是无法交往的天外之人。“我们，包括老师在内，完全不能理解他。”半个世纪以后一位当年的同班同学这样回忆说。
从《汇编》到《笔记》
虽说拉马努金身上有着高贵的血统??婆罗门，可是家道已经败落，加上人口众多，经济上比较贫困，因此家里经常招几个大学生寄宿。大约在中学毕业前几个月，拉马努金从寄宿的大学生那里搞到一本英文版的数学书《纯粹数学与应用数学基本结果汇编》(以下简称们正编》)。书中列举了五千多个方程、定理和公式，并且分门别类，内容涉及代数、三角、微积分、解析几何和微分方程，19世纪后期人类知晓的大部分数学均包含其中。
拉马努金中学毕业后，凭借着对们正编》的吃透，轻松地进入了有着“南印度的剑桥”之誉的贡伯戈纳姆学院。上大学以后，拉马努金并未丢弃《汇编》这一敲门砖，而是陷入了纯数学的陷阱，沉湎于发现公式之间的有机联系之中，以至于对其他功课失去了兴趣。17岁那年，他因为英文写作课不及格失去了奖学金，为此离家出走，一个人跑到一千公里以外的维沙卡帕特南，那是一座讲泰鲁固语的海滨城市。
在那座位于马德拉斯和加尔各答之间的陌生城市流浪了一个多月以后，拉马努金才回来。没有人了解这段经历，家人在报纸上登出了寻人启示。不用说．拉马努金没有获得学士学位，这一点让父母非常失望。因为在印度(和在其他国家一样)，获得学位是找到好职业的先决条件。一年以后，他又一次得到机会，进入马德拉斯的帕协阿协学院。很快，他在新学院里如鱼得水，数学老师尤其赞赏他的才华，每次遇到不太自信的时候，总要停下来问，“你看对吗，拉马努金?”此时人人都知道，南印度没有一所大学可以给他更多的数学知识。可是同样的问题出现了，他的生理学课再次不及格，毕业时又没拿到学位。
与此同时，拉马努金对《汇编》却越来越着迷。“每证明一个数学公式，他就会发现好些其他公式，于是一本《数学笔记》便开始产生了。”很多年以后，带拉马努金去英国的剑桥数学教授内维尔这样写道。好些时候，他一个人坐在家门口，看着邻家孩子在街上玩耍，大人们说他眼里“空空的”， 其实他的内心像着了火似地熊熊燃烧，这便是数学之火。以他为计算圆周率设计的无穷级数为例，第一项便可精确到小数点后八位，而早年莱布尼茨的级数五百项才 能精确到小数点后三位．这个新级数为用计算机快速求取圆周率提供了方法。这部《数学笔记》最初是用一种很奇怪的绿色墨水书写的，就像费马的算术注记和高斯 的数学日记一样，里面充满了奇思妙想。正是其中一小部分内容组成的一封书信，惊动了万里之外的英国大数学家哈代。
港务局小职员
很久以来，拉马努金的双亲放任自己的儿子，没有及时制止他的偏科。用内维尔的话说，让他过着“1909年前那些无忧无虑的好日子”。 直到今天，印度仍有宽阔的空间时间容纳和造就孤独的天才，包括来自不同国度的神秘主义者、瑜伽练习者甚或遁世者。事实上，笔者两次印度之旅亲眼所见，由于 生活费用低廉和温暖的天气，这个国家的西北部和南方某些邦，藏匿着数以千计的外国青年，他们经年累月地在那里无所事事，做着形而上学的白日梦。事实上，没 有一个前殖民地国家像印度那样为英国造就出更多的文学天才，从萨克雷到吉卜林，从福斯特到奥威尔。可是，在拉马努金两次没有获得学位以后，他的父母终于失 去了耐心，他们想到了古代中国人常用的办法－给他娶个媳妇。
1908年岁末的一天，拉马努金的母亲来到贡伯戈纳姆以西大约一百公里处的小镇拉金德兰探望朋友，在那里一位眼睛明亮的女孩身影从她眼前闪过。这位姑娘叫佳娜琪，是她一位远亲的女儿。她去讨了女孩的天宫图进行对照，认为他们很合适。于是便开始商谈一场婚姻，那年拉马努金21岁，佳娜琪才9岁。 两家的经济和社会地位相仿。第二年夏天结婚以前，他们连面都没见过。举办婚礼的头一天，前来迎娶的拉马努金乘坐的火车晚点了好几个钟头。佳娜琪的父亲着急 万分，如果女婿再迟一会出现，他就要当时当地把女儿嫁给自己的外甥了。结婚以后，按照习俗，小俩口并未圆房，新娘甚至返回了老家。拉马努金不得不暂时忘掉 他的数学，开始寻找一个活命之计，他差不多跑遍了全邦，先是以故乡为目标，继而把重心转移到马德拉斯。他常常需要朋友或好心人的资助，因为一张到马德拉斯 三等车厢的双程车票大约要花掉父亲一周的薪水，那可以购买一目磅的大米。至于住宿只好到朋友那里去挤，他同时在寻找做家庭教师的机会，即便如此，也因为教 学方法古怪而招不到几个学生，甚至以此出名。再后来拉马努金就病倒了，朋友把他送到火车站让他回家，在开车之前，他掏出两大本数学笔记，要求如果他死了， 就把它们交给他认识的两位数学教授之一，这大概是他的第一份遗嘱。幸好没有死。
后来，拉马努金有幸拜会了一位税务官兼数学会秘书拉奥。当拉奥了解到拉马努金只是想拥有一份闲暇，以便继续他的数学研究时，慷慨地答应以个人的名义每月资助他25卢 比。这样一来，拉马努金就安心地回到了马德拉斯，租下一套小公寓，继续为他的《数学笔记》添加神秘的公式。值得一提的是，所有这些帮助过拉马努金的人都是 婆罗门，如果他本人不属于这个最高级别的种姓，则一切皆不可能。这段时期，拉马努金的用纸特别费，为了节省卢比，他改用石板演算。朋友们看见他的肘部又粗 又黑，原来他是怕找布擦耽误时间而用手来代替。第二年，拉马努金的第一篇论文发表在《印度数学会杂志》上，从此他正式登上了数学的舞台。
此后不久，拉奥又把拉马努金推荐到马德拉斯港务局，在信托处财务科做了一名小职员(其时20世纪的另一位天才爱因斯坦刚辞去伯尔尼专利局小职员的位置不久)。这时候，他的妻子已经13岁，基本上发育成熟，两人终于生活在一起．生活的安定让拉马努金有了更多的心思去研究数学，那段时间他的主要兴趣是无穷级数，以至于有人戏称无穷级数是他的初恋。
被辱的婆罗门
在拉马努金的生活场景转移到英国之前必须要提一下两个人，一位是马德拉斯港务局的总工程师、爱尔兰人斯普林爵士，另一位是港务局总会计长、印度数学会会员耶尔。由于得到他们的赏识、关照和友谊，拉马努金甚至上班的时候也可以研究数学，他的同事和上司都是睁一只眼闭一‘只眼。更为重要的是，通过斯普林以及他周围的关系，拉马努金才进入到“英国印度”。在此以前，他和英国人接触太少，现在终于有了变化。
这 种变化带来的一个后果是，拉马努金对宗主国英国有了向往之心。起初，通过斯普林的引见，《数学笔记》中的一些成果经过几次转折以后被送到伦敦大学的一位教 授手中。这位教授以严格教育学生著称，而不是以数学上的成就闻名。虽然教授的回信并不十分肯定拉马努金的工作，至少没有否定他的天才和创造性。这给了拉马 努金勇气和自信，在1913年元旦前后(那一年泰戈尔获得了诺贝尔文学奖)，他提笔给剑桥大学的三位顶尖数学家写信，经过耶尔的润色后连同部分笔记一起寄出。第一位和第二位收信人都是P．R．S、可是他们要么没有回复，要么爱莫能助。第三位最年轻，当时只有35岁，可也已经是F．R．S．了．他的名字叫哈代。
自 从牛顿发明微积分以后，英国的纯粹数学一直停滞不前。它本是一个岛国，对外来的事物容易怀疑而不容易接受，偏偏德国人莱布尼茨也在巴黎创立了微积分。为了 争夺发明权，两人在世时就争论不休，死后更是闹得天翻地覆。英国人当然是为牛顿辩护，结果使得好几代数学家都抵制欧陆，在19世纪几乎没有产生一个大数学家，，这种现象的纠正要等到哈代，十J现时才被扭转，他在剑桥建立起了哈代学派，引得全世界的同行前来朝拜。
哈代收到拉马努金来信的时候，正处于学术创造的高峰。更为重要的是，如同数学史家斯诺所评价的，哈代是“我所见到过的最远离忌妒情感的人”，“彻底摆脱了人生的种种卑鄙狭隘的个性”。另一方面，牛津大学的一位经济学家曾经这样回忆哈代，“他对于卓越性的感觉是绝对敏锐的；稍有逊色的从来不屑一顾。”哈代看了拉马努金的《笔记》，便确信他的数学天赋高于自己，决心把他邀请到剑桥来。正巧三一学院年轻的助教内维尔要到印度去，哈代便委托他去会见拉马努金。
虽 说家道败落，但由于宗教上的顾虑和文化上的抗拒心理，婆罗门和遵守教规的印度教徒是不能漂洋过海的，到英国去是对家族的一种玷污，其严重性堪与公开抛弃圣 巾、吃牛肉或迎娶寡妇相比。将近四分之一个世纪以前，甘地因为去英国留学，就被家族逐出了种姓。但到了拉马努金时代，印度人因为出国而良心不安已经减轻了 许多。当拉马努金和内维尔第三次一起坐在他的笔记本前面时，他竟然松了口，并主动把从不离手的笔记本借给内维尔看。原来，在内维尔的影响之下，印度数学会的几位好心人已经做过拉马努金父母的工作，更幸运的是，拉马努金得到了他全家信奉的纳马卡尔神庙里的女神的谕旨，她对他的英伦之行表示了赞许。   
从马德拉斯出发的拉马努金走的是水路，他乘坐的轮船穿越了红海和地中海，一路停靠科伦坡、亚丁、塞得港、热那亚、马赛和普利茅斯。1914年4月14日，拉马努金抵达伦敦，两个月以后，第一次世界大战打响了，又过了两个月，英国参战。这场战争使得剑桥两千多人死亡，伤者不计其数。
拉马努金首先面临的是英国人的矜持，以及拒人于千里之外的冷漠。除了孤独以外，拉马努金还面临严寒的气候和饮食的不适。在印度时．他从来没有做过饭，甚至没有进过厨房。但是在剑桥，母亲和妻子都不在身边，他又不相信学院餐厅里的素菜真是素的，只好自己学着做。
乡愁引发疾病
也许拉马努金的青春期较常人长久，他的内心(甚或生理上)始终是一个未成年人。虽说他与哈代、李特尔伍德在数学方面的合作很有成效(这项工作不需要生活经验)， 尤其在整数分拆和无穷级数理论方面取得了突破性进展，却花费不少时间沉溺于乡愁。拉马努金常常在空气里闻到母亲烹调食物的气味，或者马德拉斯街上飘着的烧 牛粪的气味，耳朵里会传来节日期间游行队伍里错落有致的乐声和铃声，眼睛里会浮现出故乡田野里身着白袍的劳动者，还有河边穿纱丽的妇女。有一次，拉马努金 写信给母亲，希望妻子佳娜琪能来英国陪他，结果母亲根本没告诉她，就回信说不可能，其实，婆媳之间早已经不和了。
到 英国的第四年春天，拉马努金终于倒下了，他患上一种无法搞清楚的疾病。起初，他被诊断为胃溃疡，后来医生又坚持认为是癌细胞扩散或血液中毒，后者是基于他 爱把铅做的蔬菜罐头直接放在煤气上加热后食用。可是到头来，他还是像大多数印度学生一样，按结核病治疗。由于印度和英国天气的反差，留学生们容易患肺结核 和其他胸腔疾病。拉马努金先后被送到五家医院和疗养院，他是一个十分难缠的病人，除了饮食方面特别挑剔以外，总是要和医生唱对台戏。
甚至哈代也写信给马德拉斯大学，告诉他们拉马努金得了一种不治之症，准备把他送回印度。只是由于当时正值一次大战期间，潜艇使得海上旅行极其危险，加上路上又没有医生陪伴才作罢。
幸 运的是，半年以后，拉马努金的身体大为好转。可是，他的头脑却没有好起来。有一天，当他离开疗养院短期外出时，曾企图自杀。拉马努金在伦敦的一条铁路线 上，突然朝着迎面开来的火车跳下了轨道。亏得司机眼睛尖，拉下了闸门，火车尖叫着停在离他几英尺远的地方。人虽然得救了，却流了许多血，胫骨上留下了一道 伤痕。拉马努金被带到伦敦警察总署，哈代被招来了。没想到，这位向来彬彬有礼的英国绅士居然也慌了神，告诉警察他们抓的是皇家学会会员。有意思的是，警察 局很快就查明，拉马努金还不是F‘R．S?，不过既然得知他是一位著名的数学家，还是很快就把他放走了。
其 实，哈代并没有撒谎，在拉马努金返回疗养院十天以后，他即收到了哈代发来的电报，告诉他已经当选皇家学会会员了。也就是说，在拉马努金自杀以前，皇家学院 可能已经投票通过他的增选。虽说妻子长久没有来信让他烦恼，此前没有被得到他所想要的三一学院的研究员职位也使其深感失望，可是这一次，F．R．S． 这个头衔终于洗刷了一切不快和羞辱，他的身体康复得也更快了。不久，拉马努金如愿当选三一学院的研究员，他年轻时的梦想实现了。同样让人高兴的是，战争终 于以盟军的胜利告终，旅途中可能出现的危险也排除了，他没有理由再在英国待下去了，故土的气候和饮食更有利于他的健康，况且F．R．S．和三一学院的职位都不需要他定居于此。
重返马德拉斯
1919年3月，拉马努金乘坐“名古屋号”船 出发，永远离开了英伦。当轮船返抵孟买，他的母亲和弟弟前往码头迎接。一个星期以后，母子三人乘火车回到了马德拉斯，差不多正好是在他出发去英国五年以 后。佳娜琪依然没有出现，因为婆婆没有告诉她，可她还是从报纸上知道丈夫的归来，并接连收到了他的两封邀请信。当拉马努金最早的资助者、税务官拉奥前往火 车站迎接时，他看到的是一个消瘦憔悴满脸病态的人，“我看到结局了，”他后来回忆说。尽管如此，当地的名流仍排着队去拜见这位天才，富人们争先恐后地要为他支付医疗和其他费用，或者把自己的房子让给他住。马德拉斯大学为他提供了教授职位和充足的研究经费，一点也不比他去英国访问时的津贴少，足以让他自由自在地去世界各地作学术交流。
事实上，历史上还没有一个印度人达到他那时在科学．．上的地位和名望。可是，拉马努金已经没有时间去享受这些旅行和荣誉了，也没有精力去为马德拉斯大学作贡献。在英国，他已经看过很多的医生和医院，但都不能治疗肺结核，现在回到印度，自然更困难了。他曾经幽默地对别人说，“我有一个老朋友比你们更爱我，根本不肯离开我，这就是肺结核的高烧。”南印度的夏天很快来临，白天的气温已超过38度。拉马努金如今有机会和财力去山中避暑了，母亲和妻子陪着他，这回在两个女人的矛盾和斗争中他偏向年轻的一方，他终于有勇气摆脱母亲的控制了。
秋天来临，拉马努金的身体有了起色，他重又开始研究数学，那是被他称之为“仿9函数”的新伙伴，可以展开成无穷级数，他的“初恋情人”。仿佛是鸳梦重温，他得到了一些令人吃惊的成果。以至于让他高兴地提笔给哈代写下了第一封信，在返回印度十个月以后。这一点似乎应验了中国人所说的回光返照，当一个肺结核病人快死时，他会被推向创造性的高潮，死亡的临近会使得生命出现最后的灿烂。遗憾的是，这些“仿9函数”的工作非常出色，却不幸连同记载它们的笔记本一起丢失了。直到1976年，才由一位名叫安德鲁斯的美国访问教授在剑桥的图书馆里发现、加以整理并发表。至于它如何到的剑桥，就无人知晓了。有人把这件事作了比喻，“好比突然发现了贝多芬第十交响曲的全本”。一般认为，安德鲁斯后来当选美国科学院院士，与他的这一发现有着必然的联系。
1920年4月16日早晨，拉马努金返回祖国刚满一年，他陷入昏迷，整整两个小时。佳娜琪坐在他身边，试图用冲淡的牛奶喂他。那天上午刚刚过去一半，拉马努金就去世了，享年32岁。他的妻子、父母和两个弟弟陪伴在他周围。当天下午便安排了火葬，尽管他名声显赫，那些正统的婆罗门亲友都没有来，因为他曾经飘洋过海，回国后又由于身体原因没有举行净化仪式。拉马努金没有留下一个后代，也没有招收过一个弟子，但在他的精神感召下，20世纪后半叶的印度数学和自然科学有了很大的进展，尤其是在数论领域。据笔者所知，至少在加拿大，印度人占据了统治地位。在物理学方面，印度人也有卓越的贡献，仅马德拉斯大学就出过两位诺贝尔奖得主??拉曼和钱德拉塞卡，后者在拉马努金去世时才是一个9岁的男孩。
2003年12月， 笔者应印度国立数学研究所的邀请，赴南印度的花园城市班加罗尔参加纪念拉马羌德拉诞生七十周年国际数论会议。拉马羌德拉被认为是拉马努金之后印度最伟大的 数论学者，可以说他做了这位前辈未做的事情，即培养了众多杰出的数学人才，会议的发起人巴鲁教授便是他的得意弟子。巴鲁是拉马努金的老乡，现任马德拉斯大 学数学研究所所长，他肤色黝黑，精力旺盛，与笔者一见面就谈论数学。在到过欧美的各种学术场所以后，我突然发现，只有南印度的数学家保持了对数学的原始激 情，如同古希腊的毕达哥拉斯学派一样。回忆几年前巴鲁证明格雷厄姆猜想所使用的巧智，或许他就是现代健康版的拉马努金。本来，马德拉斯(现名夏奈)是我没去过的南亚城市中最渴望一游的，现在无疑又添加了几分好奇之心。或许，我应该寻找时机，谋求第三次印度之旅。（蔡天新）
阅读全文 |回复(0) |引用通告 |编辑  
标签：印度 数学 奇才 拉马努金 
上一篇：數學分析習題(part 2)
发表评论：
大名： 密码： (游客无须输入密码) 主页： 标题： 页面数据载入