数学综合题攻克全攻略

山东省夏津一中   徐庆明

数学综合题通常涉及的知识点在三个及三个以上，涉及数学方法两种以上，对能力的要求在理解和掌握两个层面上。条件多，无从下手；结论多，思维量和计算量大。这些都使同学们觉得数学综合题难度很大，很难攻克。加之考场时间有限，通常不能很好的解决，获得满意的分数。

其实，针对数学综合题的这些特点，我们是可以制定一个方略，攻克综合题的难点，进而解决好综合题的，至少可以提高得分率。

攻略1 认真审题。仔细阅读题目中的每一个字词，要字斟句酌、反复推敲，力求准确地把握题意。在这方面不要吝啬时间，因为准确把握题意是正确解题的前提和基础。如阅读一遍后对题意仍不理解，可以先找出题目中给出了哪些条件，哪些结论，条件和结论之间有多大距离，从而明确下一步要解决的问题。

攻略 2 丰富联想。根据题目所涉及的内容联想教材中相关的知识、方法，与之相关的结论，平时做过的相似的题目以及解决此类问题所应该注意的事项。平时要养成解完题目后多思考、总结的习惯，到这时才能联想丰富。

攻略 3 深化条件。由于题目中条件太多，不容易确定解题方向，可以先将题目中的条件逐个深化，即由这一条件可以得到哪些结论。然后再结合结论，分析它们之间的联系，就比较容易确定解题的方向。

攻略 4 尝试思路。在草纸上 勾、画，尝试并确定解题思路。这时要注意选择合适的方法，不要想到一种方法就忙着去写，等写了一大半才发觉这种方法很麻烦而无法继续下去。最先想到的往往不是最好的，要学会甄别方法的优劣。当然，这需要通过解题不断地积累经验。

攻略 5 表述呈现。表述时要注意书写认真，格式规范，详略得当，步骤完整。关于格式规范要注意研究和学习教材中例题的解题过程和高考的参考答案。详略得当要注意适当省略。如：化简的过程和解方程的过程、数的计算的过程，可以省略；而化简、计算的结果，推理的结论等是重要的得分点，是不能省略的。

攻略 6 跳步得分。若一道题目中有连续几问，前面的不会做但会做后面的，可以直接用前面的结论来解决后面的问题，按高考的阅卷标准也是可以得分的。

（2006辽宁卷）(20) (本小题满分14分)

已知点 , 是抛物线 上的两个动点, 是坐标原点,向量 , 满足 .设圆 的方程为

(I) 证明线段 是圆 的直径;

(II)当圆C的圆心到直线X-2Y=0的距离的最小值为 时，求p的值。

【分析】该题涉及三个主要条件：（1）抛物线 （2）向量 , 满足 （3）圆 的方程为

其中条件（2）是核心条件。由向量的几何意义可以得到向量 和向量 垂直。由向量的数量积可以得到关于x₁、x₂、y₁、y₂的关系等式。求出圆的方程也就可以解决这道题目的第一问。用p表示出圆心坐标，由点到直线的距离公式可以得到关于p的方程，从而问题得以解决。

【解】(I)证明1:

整理得:

设M(x,y)是以线段AB为直径的圆上的任意一点,则

即

整理得:

故线段 是圆 的直径

证明2:

整理得:

……(1)

以线段AB为直径的圆的方程为

展开并将(1)代入得:

故线段 是圆 的直径

(II)解法1:设圆C的圆心为C(x,y),则

又因

所以圆心的轨迹方程为

设圆心C到直线x-2y=0的距离为d,则

当y=p时,d有最小值 ,由题设得

.

解法2: 设圆C的圆心为C(x,y),则

圆心C到直线x-2y=0的距离为d,则

又因

当 时,d有最小值 ,由题设得

.

（2006福建卷）（22）（本小题满分14分）

已知数列｛a ｝满足a =1,a =2a +1(n∈N )

（Ⅰ）求数列｛a ｝的通项公式；

（Ⅱ）若数列{b_n}满足  (n∈N^*),证明:{b_n}是等差数列;

（Ⅲ）证明: (n∈N^*).

【分析】这是一道数列的综合题。涉及通项公式的求法、等差数列的证明以及不等式的证明。第一问由数列的递推公式求通项公式，可以构造新数列，应该可以轻松拿下。第二问要仔细分析两个数列之间的关系，化简计算要准确。边做边分析，所谓“走一走，看一看”，逐步调整解题方向。第三问技巧性强，通过尝试和探索，可以采用放缩法分步证明。

【解】（I）∵a_n+1=2 a_n+1（n∈N）,

∴a_n+1+1=2(a_n+1),

∴｛a_n+1｝是以a₁+1=2为首项，2为公比的等比数列。

∴a_n+1=2ⁿ，

既a_n=2ⁿ－1(n∈N)。

（II）证法一：∵

∴2[(b₁+b₂+…+b_n)-n]=nb_n,                            ①
2[(b₁+b₂+…+b_n+1)-(n+1)]=(n+1)b_n+1                    ②

②-①,得2(b_n+1-1)=(n+1)b_n+1-nb,
即 (n-1)b_n+1-nb_n+2=0.                               ③
nb_n+2=(n+1)b_n+1+2=0.                                ④
④-③，得nb_n+2-2nb_n+1-nb_n=0,

即 b_n+2-2b_n+1+b=0,

∴b_n-2-b_n+1=b_n(n∈N^*),
∴{b_n}是等差数列.
证法二：同证法一，得
(n-1)b_n+1-nb_n+2=0
令n=1，得b₁=2.
设b₂=2+d(d∈R),，下面用数学归纳法证明 b_n=2+(n-1)d.
(1)当n=1,得b₁=2.
(2)假设当n=k(k≥2)时，b₁=2+(k-1)d,那么
b_k+1=

这就是说，当n=k+1时，等式也成立.
根据(1)和(2)，可知b_n=2(n-1)d对任何n∈N^*都成立.
∵b_n+1-b_n=d, ∴{b_n}是等差数列.
（Ⅲ）证明：∵

∴

∵ ≥ ( ),k=1,2,…,n,

综合以上证明， (n∈N^*).成立。

总之，在数学复习过程中既要抓住基本题，也要注重对综合题目的研究。通过对综合题的演练，可以提高一个人数学的思维品质，加强解数学题的“攻坚”能力。但要注意，复习的重点必须放在基础题和中档的综合题目上，尤其不能在较难的综合题上消耗太多时间。否则耗时多而收效微，就得不偿失了。

2007-2-4