“韩信点兵”算法之Excel公式解题

什么是“韩信点兵”算法？

一日，汉高祖刘邦曾问大将韩信：“你看我能带多少兵？”韩信斜了刘邦一眼说：“你顶多能带十万兵吧！”汉高祖心中有三分不悦，心想：你竟敢小看我！“那你呢？”韩信傲气十足地说：“我呀，当然是多多益善啰！”刘邦心中又添了三分不高兴，勉强说：“将军如此大才，我很佩服。现在，我有一个小小的问题向将军请教，凭将军的大才，答起来一定不费吹灰之力的。”韩信满不在乎地说：“可以可以。”刘邦狡黠地一笑，传令叫来一小队士兵隔墙站队，刘邦发令：“每三人站成一排。”队站好后，小队长进来报告：“最后一排只有二人。”“刘邦又传令：“每五人站成一排。”小队长报告：“最后一排只有三人。”刘邦再传令：“每七人站成一排。”小队长报告：“最后一排只有二人。”刘邦转脸问韩信：“敢问将军，这队士兵有多少人？”韩信脱口而出：“二十三人。”刘邦大惊，心中的不快已增至十分，心想：“此人本事太大，我得想法找个岔子把他杀掉，免生后患。”

一面则佯装笑脸夸了几句，并问：“你是怎样算的？”韩信说：“臣幼得黄石公传授《孙子算经》，这孙子乃鬼谷子的弟子，算经中载有此题之算法，口诀是： 三人同行七十稀，五树梅花开一枝，七子团圆正月半， 除百零五便得知。”

“韩信点兵”又称“鬼谷算”，“隔墙算”，“剪管术”，“神奇妙算”等等，题目与解法都载于我国古代重要的数学著作《孙子算经》中。宋朝的数学家秦九韶把这个问题推广，并把解法称之为“大衍求一术”，这个解法传到西方后，被称为“孙子定理”或“中国剩余定理”。而韩信，则终于被刘邦的妻子吕后诛杀于未央宫。

刘邦出的这道题，可用现代语言这样表述：“一个正整数，被3除时余2，被5除时余3，被7除时余2,如果这数不超过100，求这个数。”

3 2 5 3 7 2 除数 余数

解题过程演算？

据《孙子算经》中给出这类问题的解法：“三三数之剩二，则置一百四十；五五数之剩三，置六十三；七七数之剩二，置三十；并之得二百三十三，以二百一十减之，即得。凡三三数之剩一，则置七十；五五数之剩一，则置二十一；七七数之剩一，则置十五，一百六以上，以一百五减之，即得。”

译成国语即是：

能被5与7整除而被3除余1的数70，被3与7整除而被5除余1的数21，被3与5整除而被7除余1的数15；

所求数被3除余2，则取数70×2＝140，140是被5与7整除而被3除余2的数。
所求数被5除余3，则取数21×3＝63，63是被3与7整除而被5除余3的数。
所求数被7除余2，则取数15×2=30，30是被3与5整除而被7除余2的数。

相加(140＋63＋30=233)，由于63与30都能被3整除，故233与140这两数被3除的余数相同，都是余2，同理233与63这两数被5除的余数相同，都是3，233与30被7除的余数相同，都是2。所以233是满足题目要求的一个数。

而3、5、7的最小公倍数是105，故233减105的整数倍后被3、5、7除的余数不会变，从而所得的数都能满足题目的要求。由于所求仅是一小队士兵的人数，这意味着人数不超过100，所以用233减去105的2倍得23即是所求。

根据以上概述运用Excel公式制成一通用的“韩信点兵”计算器。如下：

3 2 23 23 5 3 答案1 答案2 7 2 除数 余数    

3 1 22 22 5 2 答案1 答案2 7 1 除数 余数    

3 2 89 89 5 4 答案1 答案2 7 5 除数 余数    

答案一公式（常规解法 数组公式）

=MIN(IF((MOD(ROW($1:$95)*A$1+B$1,A$2)=B$2)*(MOD(ROW($1:$95)*A$1+B$1,A$3)=B$3),ROW($1:$95)*A$1+B$1,9E+307))

答案二公式（韩信点兵思路解法）

=MOD(B1*A2*A3*2+B2*A1*A3+B3*A1*A2,A1*A2*A3)

或

=MOD(70*B1+21*B2+15*B3,105)

答案一公式科学性强些，当结果出现9E+307时，证明所求数不存在。但答案二公式同样会给出错误结果，说明当时韩信这个思路并非通用。如：

3 2 9E+307 14 5 4 答案1 答案2 7 7 除数 余数    

=MOD(14,3) =2 =MOD(14,5) =4 =MOD(14,7) =0

最后，附上EXCEL版韩信点兵计算器下载，供学习参考。【点此下载】