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如何提高学生的数学解题能力
2009年 第11期 作者：● 谌晓鸿

我们解题时，总是把一个题目引向我们熟悉的类型（归结为已经解过的题）。原有的熟悉类型可以为我们解决新问题服务，解决了一个新问题就扩大了我们熟悉类型的范围。因此，在不断地学习数学新知识和总结解题经验的基础上，使我们由一例到一类，由一类到多类，又由多类到统一，由统一到扩大，由扩大到创新，逐步地提高我们的解题能力，这里的逐步，一般可以分为四个层次：观察、联想、构造、变换有关知识与方法。
一、观察
心理学告诉我们：感觉和知觉是认识事物的最初级形式，而观察则是知觉的高级状态，是一种有目的、有计划、比较持久的知觉。观察是认识事物最基本的途径，它是了解问题、发现问题和解决问题的前提。
任何一道数学题，都包含一定的数学条件和关系。要想解决它，就必须依据题目的具体特征，对题目进行深入的、细致的、透彻的观察，然后认真思考，透过表面现象看其本质，这样才能确定解题思路，找到解题方法。
例1已知a、b、c、d都是实数，求证
+≥
思路分析1：很多学生看到这个不等式证明题，马上想到采用分析法、综合法等。先将两边平方得
a2+b2+c2+d2+2≥(a-c)2+(b-d)2
化简得：≥-ac-bd，讨论（1）当不等号右边为负数时，不等式成立；（2）当不等号右边为非负数时，两边再平方得：(a2+b2)(c2+d2)≥(-ac-bd)2，化简得：(ad)2+(dc)2≥2abcd，由均值不等式知 显然成立，故不等式成立。
思路分析2：从题目的外表形式观察到，要证的结论的右端与平面上两点间的距离公式很相似，而左端可看作是点到原点的距离公式。根据其特点，可采用下面巧妙而简捷的证法，这正是思维变通的体现。
证明:不妨设A(a,b),B(c,d)
如图所示，
则 |AB|=
|OA|= ,|OB|=
在△OAB中，由三角形三边之间的关系知
|OA|+|OB|≥|AB|
当且仅当O在AB上时，等号成立。
因此， +≥
引导学生从不同角度来思考，不仅仅思考条件本身，而且要思考条件之间的关系。要根据条件运用各种综合变换手段来处理信息、探索结论，有利于思维起点灵活性的培养，也有利于孜孜不倦的钻研精神和创造力的培养。一题多解可以拓宽思路，增强知识间联系，学会多角度思考解题的方法和灵活的思维方式。
二、联想
联想是解题中独特的思维形式，是探索、发现、创造的前提。丰富多彩的联想，往往能带来更多的信息，沟通条件和结论的联系，使解题思维变得更加明朗。合理深入的联想不仅能达到准确简捷的解题的目的,而且可提高思维的广阔性,灵活性和创造性,有助于思维品质的优化。那么,就具体数学解题而言,联想就是从一个问题想到另一个问题的心理活动,其实质上也就是把解决某些特殊问题的原则方法等“移植”到相近的问题上面去，从而迅速地找到解题的方案。
例2 求棱长为a的正四面体的内切球和外接球半径。
思路分析1：BE=    a ∴OE=    a  AO=    a
△AKM相似△AEO
   =    =    =    =3
4r=AO=    a
 ∴内切球半径：r=     a 
外接球的半径：R=3r=    a
思路分析2：联想如何在正方体中取出正四面体如图：在正方体中取A、B、C、D四个顶点组成正四面体，则正四面体的外接球也是正方体的外接球，此时正方体的体对角线就是外接球的直径。
∵AB=a  ∴正方体的棱长为   a，体对角线即
2R=
外接球的半径： R=   a，
内切球半径： r=    =    a
三、构造
所谓构造是指当某些数学问题使用通常方法、按定势思维去解决很难奏效时，应根据题设条件和结论的特征、性质，从新的角度，用新的观点观察、分析、解释对象，抓住反映问题的条件与结论之间的内在联系，把握问题的外形、数值、位置等特征，以已知条件中的元素为“元件”，用已知数学关系作“支架”，在思维中构造出满足条件或结论的数学对象，使原问题中隐晦不清关系和性质在新构造的数学对象中清楚地展现出来，从而借助该数学对象简捷地解决数学问题。构造法是一种极富技巧性和创造性的解题方法，体现了数学中发现、类比、化归的思想，也渗透着猜想、探索、特殊化等重要的数学方法。运用构造法解数学题可从中欣赏数学之美，感受解题乐趣，更重要的是可开拓思维空间，启迪智慧，并对培养多元化思维和创新精神大有裨益。
例3如果(z-x)2-4(x-y)(y-z)=0，求证：x、y、z成等差数列。
思路分析1：要证x、y、z成等差数列，必须有x-y=y-z 成立才行。此题一般是通过因式分解来证。但是，如果注意观察已知条件的特点，不难发现它与一元二次方程的判别式相似。于是，提供给我们构造一元二次方程△=b2-4ac的知识来试探的机会。
证明  当x-y≠0时，等式(z-x)2-4(x-y)(y-z)=0  
可看作是关于t的一元二次方程(x-y)t2+(z-x)t+(y-z)=0有等根的条件，在进一步观察这个方程，它的两个相等实根是1，根据韦达定理就有：
   =1 即2y=x+z，所以x、y、z成等差数列。
若x-y=0，由已知条件易得(z-x)=0 即x=y=z,显然也有x、y、z成等差数列。
思路分析2：∵(z-x)2-4(x-y)(y-z)=0
∴ [(z-y)+(y-x)]2-4（x-y）（y-z）=0，展开化简得[(z-y)-(y-x)]2=0 ∴z-y=y-x
所以，x、y、z成等差数列。
四、变换
从一种形式变换另一种形式，是数学解题最常用的方法之一。在求解问题时，把较难的问题变换为比较几个简单、难度较低或已经熟悉易于求解的新问题.通过对新问题的研究，发现原问题的解题思路，以达到解决原题之目的。
转化与化归思想，是在处理问题时，把那些待解决的问题，通过某种转化过程，归结为一类已经解决或比较容易解决的问题，最终求得原问题，是一种把未知问题转化为熟知可解问题的一种重要的思想方法。
等与不等是数学中两个重要的关系，把不等问题转化为相等问题，可以减少运算量，提高正确率；把相等问题转化不等问题，能突破难点找到解题的突破口。
例4 已知函数f(x)=log3                  的定义域为R，值域为[0,2]，求m,n。
简析：这是关于函数的定义域和值域的逆向思维问题，从何入手？由复合函数可转化为u=          的定义域为R，由题设和对数函数单调性知，u的值域为[1,9]，变形构造二次方程的判别式，利用恒等的意义化为方程问题，对照系数或由韦达定理确定参数。由u=          得
(u-m)x2-8x+(u-n)=0 ∵x∈R 且设u-m≠0
∴△=(-8)2+4(u-m)(u-n)≥0
即u2-(m+n)u+(mn-16)≤0
由1≤u≤9知，u的一元二次方程u2-(m+n)u+(mn-16)=0的两根为1，9，由韦达定理，得，m+n=1+9，mn-16=1×9解得，m=n=-5.若u-m-0时，即u=m=-5时，对应的x=0符合条件.故m=n=-5.
注：本题是用判别式法是求二次分式函数的值域，将不等转化为相等，利用根与系数的简化运算的，实现了化难为易.易出现忽略二次项系数为0的情形的研究.
提高学生的数学解题能力是一项重要而艰巨的任务，受诸多条件和因素的影响。但不能急于求成，更不能盲目地搞题海战术，习题的训练要有针对性，讲求质量，讲求效益。在平时的数学教学中，教师应多引导学生进行思考，逐步使学生的思维能力由单向性发展为多向性。让学生在解题过程中获得乐趣，产生灵感、悟出解题的正确思路和方法。平时要通过适当训练，促使学生的思维达到一个较高的境界，实现优化解题方法，提高解题问题能力。