神马文学网第二讲 细观察、巧解题
来源：百度文库 编辑：神马文学网 时间：2024/10/05 22:07:08
讨论一个问题，首先需要观察，通过观察获得初步的感性认识，这样的初级认识可能还没有抓住本质，很可能看到的是表面现象。通过进一步分析，才有可能找到事物之间的内在联系，而找到这种联系后，才能找到解决问题的办法。现在，我们来讨论一些有趣的图中填数游戏。
例1 如图2－1，要求把它剪成形状完全相同的四块，并使每块上各数之和都相等。问应该怎样剪法？
解：首先注意到题目要求把原图剪成形状相同的四块，每块上各数之和相等。
图中共有12个方格，每块应有12÷4＝3个方格。
由图中各数可以算出每块各数之和：
（9＋4＋12＋5＋6＋11＋9＋14＋9＋10＋8＋3）÷4＝25
三个方格可组成长方形，但经过实验分割不成四个相同的长方形。分割成“L”形（如图2－2）是否可能呢？经过实验，只有一种分法。如图2－3。
说明：本题是要构造合乎要求的图形。为了克服实验的盲目性，首先要分析希望剪成的图形的形状、大小。在这基础上，再经过几次实验，就能很快找到解决问题的办法。
例2 把1－5这5个自然数，分别填入图2－4中五个圆圈内，使相交成十字的两条直线上三个数之和都等于9。问如何填法？
解：一条直线上三个数之和是9，另一条直线上三个数之和也是9，那么两个和数相加为18。相加时，端点四个数只加一次，中央的数都是加了两次。于是有1＋2＋3＋4＋5＝1518－15＝3
可见是数3相加了两次，所以中央应填3。这样不难得出符合题意的一种填法。如图2－5。（其中2与4，1与5是可以换位置的）
例3 把1－6这六个自然数，分别填入图2－6的各圆圈内，使三角形每边三个数之和都等于10，能否写出一种填法？
解：每边三个数之和为10，三边总和为30，而1＋2＋3＋4＋5＋6＝21，三角形三个顶点的三个圆圈内的数，每个数在相加时使用两次。
30－21＝9
顶点处三个数之和是9。而三数之和为9的只有三种情况：
1＋2＋6＝9，1＋3＋5＝9，2＋3＋4＝9。
通过实验，只有1，3，5填入顶点圆圈内，才有符合题意的解答。如图2－7，把1，3，5填入三角形三个顶点圆圈内，要使每边三个数之和为10，自然各边中间的三个数也就确定了。
例4 将1－7这七个自然数，分别填入图2－8中各圆圈内，使三个方向上三个数的和都等于12。你能否写出一种填法？
解：每个方向上三个数之和为12，三个和数相加是36，又1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28，而中央位置填的数，在相加时，重复三次。由此得
36－28＝8
8÷（3－1）＝4
通过计算知道，中央位置应填4，每个方向上另两数之和应等于8（12－4＝8）。经实验有三种情况：
1＋7＝8，2＋6＝8，3＋5＝8。
这样很容易写出一种填法。如图2－9。图中1与7，2与6，3与5可以互换位置，且三个方向上任意两个方向上的两个数也可交换（如1、7与3、5互换位置）。
请思考，如果例4中要求三个方向上每三个数之和都等于10，则应怎样填法？
例5 将1－8这八个自然数，分别填入图2－10中的八个空方格中，使四个边上的各算式都成立。
解：设左边三个数用a，b，c表示，右边三个数用d，e，f表示，上、下边的中间方格内填的数用g，h表示。那么有：
a÷b＝c
d＋e＝f
a－g＝d
c×h＝f
把除法、减法算式转化成乘法、加法算式，得
b×c＝a
d＋g＝a
d＋e＝f
c×h＝f
通过分析可知，b，c，h都不等于1，它们都不小于2，所以a，f都不会小于6，但不能等7（因为7＝1×7）。因此a，f中一定一个等于6，另一个等于8。
2×4＝8
2×3＝6
取c＝2，a＝8，f＝6，b＝4，h＝3，据此可取g＝7，d＝1，e＝5。这是适合题意的一种填法。如图2－11。
思考本题是否还有别的填法？如果有请再写出一种填法。
例1 如图2－1，要求把它剪成形状完全相同的四块，并使每块上各数之和都相等。问应该怎样剪法？
解：首先注意到题目要求把原图剪成形状相同的四块，每块上各数之和相等。
图中共有12个方格，每块应有12÷4＝3个方格。
由图中各数可以算出每块各数之和：
（9＋4＋12＋5＋6＋11＋9＋14＋9＋10＋8＋3）÷4＝25
三个方格可组成长方形，但经过实验分割不成四个相同的长方形。分割成“L”形（如图2－2）是否可能呢？经过实验，只有一种分法。如图2－3。
说明：本题是要构造合乎要求的图形。为了克服实验的盲目性，首先要分析希望剪成的图形的形状、大小。在这基础上，再经过几次实验，就能很快找到解决问题的办法。
例2 把1－5这5个自然数，分别填入图2－4中五个圆圈内，使相交成十字的两条直线上三个数之和都等于9。问如何填法？
解：一条直线上三个数之和是9，另一条直线上三个数之和也是9，那么两个和数相加为18。相加时，端点四个数只加一次，中央的数都是加了两次。于是有1＋2＋3＋4＋5＝1518－15＝3
可见是数3相加了两次，所以中央应填3。这样不难得出符合题意的一种填法。如图2－5。（其中2与4，1与5是可以换位置的）
例3 把1－6这六个自然数，分别填入图2－6的各圆圈内，使三角形每边三个数之和都等于10，能否写出一种填法？
解：每边三个数之和为10，三边总和为30，而1＋2＋3＋4＋5＋6＝21，三角形三个顶点的三个圆圈内的数，每个数在相加时使用两次。
30－21＝9
顶点处三个数之和是9。而三数之和为9的只有三种情况：
1＋2＋6＝9，1＋3＋5＝9，2＋3＋4＝9。
通过实验，只有1，3，5填入顶点圆圈内，才有符合题意的解答。如图2－7，把1，3，5填入三角形三个顶点圆圈内，要使每边三个数之和为10，自然各边中间的三个数也就确定了。
例4 将1－7这七个自然数，分别填入图2－8中各圆圈内，使三个方向上三个数的和都等于12。你能否写出一种填法？
解：每个方向上三个数之和为12，三个和数相加是36，又1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28，而中央位置填的数，在相加时，重复三次。由此得
36－28＝8
8÷（3－1）＝4
通过计算知道，中央位置应填4，每个方向上另两数之和应等于8（12－4＝8）。经实验有三种情况：
1＋7＝8，2＋6＝8，3＋5＝8。
这样很容易写出一种填法。如图2－9。图中1与7，2与6，3与5可以互换位置，且三个方向上任意两个方向上的两个数也可交换（如1、7与3、5互换位置）。
请思考，如果例4中要求三个方向上每三个数之和都等于10，则应怎样填法？
例5 将1－8这八个自然数，分别填入图2－10中的八个空方格中，使四个边上的各算式都成立。
解：设左边三个数用a，b，c表示，右边三个数用d，e，f表示，上、下边的中间方格内填的数用g，h表示。那么有：
a÷b＝c
d＋e＝f
a－g＝d
c×h＝f
把除法、减法算式转化成乘法、加法算式，得
b×c＝a
d＋g＝a
d＋e＝f
c×h＝f
通过分析可知，b，c，h都不等于1，它们都不小于2，所以a，f都不会小于6，但不能等7（因为7＝1×7）。因此a，f中一定一个等于6，另一个等于8。
2×4＝8
2×3＝6
取c＝2，a＝8，f＝6，b＝4，h＝3，据此可取g＝7，d＝1，e＝5。这是适合题意的一种填法。如图2－11。
思考本题是否还有别的填法？如果有请再写出一种填法。