ARCH族－VaR方法在外汇投资的风险测量

一、引文
外汇市场波动剧烈，要在汇市上进行交易，则要有很强的风险管理能力，而风险管理的基础是风险测量。当前国际上，定量风险管理方法是金融领域研究的焦点，其中J P Morgan（1994）提出的VaR（value at risk）方法的研究和应用最为突出。在金融时间序列波动方面的研究， Engle (1982)提出的ARCH族模型的研究取得了很突出的成果，这种模型能很好的描述金融时间序列的尖峰厚尾和聚类现象。本文把ARCH族模型和VaR结合，进行风险的定性定量研究。在国内，用ARCH族－VaR模型对外汇风险进行度量、分析的研究和文献不多，但是却有比较多文献运用了此模型对我国股市进行分析，比如陈守东（2002）、邹建军（2003）和薛宏刚（2004）等等。本文分别用GARCH和EGARCH模型对英镑兑美元（GBP/USD）收益率进行估计，对序列的波动性进行分析，然后计算出VaR并分析比较结果。在进行ARCH族模型估计时，在很多文献都是假设残差是正态分布，可实际中，很多金融时间序列的残差分布都是非正态分布的。本文对残差进行了正态分布、T－分布和广义误差分布（GED）等三种的假设，然后进行估计、分析比较。
二、模型简介
(一) GARCH模型
Engle (1982)开创性地提出了自回归条件异方差（autoregressive conditional heteroscedasticity）模型，简称ARCH模型，并且随后发展为一个很庞大的模型家族。Bollerslev, Taylor(1986)在ARCH的基础上发展了GARCH（q,p）模型（广义ARCH模型），方差是根据过去任何的被认为有关信息计算出来的的估计值，可以把当期的拟合方差认为长期的平均值（依赖于）、前期有关的波动的信息（）和前期模型中的拟合方差（）的加权函数，它比ARCH模型包含了更多的信息。公式（2）是模型的均值方程，X是解释变量矩阵。
（1）
（2）
(二) EGARCH模型
Nelson（1991）提出了指数GARCH模型(EGARCH模型)，放宽了GARCH对估计参数的严格条件限制，模型中条件方差采用了自然对数, 意味着方差方程中的方差恒为正值。在EGARCH(q,h,p)方差方程如公式（3），估计的参数系数等可以是负值以及他们的和可以大于1。在金融时间序列中发现，不利的信息的影响要大于有利的信息的影响，既是“杠杆效应”。公式（3）中，通常是负值，当出现不利因素时候（），方程的右边第三项就为正值，既是条件方差相对变大；当出现利好因素（），方程右边第三项就为负值，则条件方差相对变小。
（3）
(三) VaR（value at risk）
VaR定义是在一定的置信水平下，预期某特定资产的最大损失。首先，设初始投资额，R为投资回报率，时间间隔是，则后的组合价值是，这里预期收益（均值）和收益的波动分别是。所以在给定的置信水平c下，组合的最小价值是，按定义得：
(4)
VaR的最普通的形式可以从未来投资组合价值的概率分布中获得，这样在给定的置信水平C下，我们可找到可能性最小的，这样超出这一水平c的概率是：
（5）
换言之，从区域的面积必需等，W*的数值被称为分布的抽样分位数。以下算法对的任何分布都有效。这样我们需要把一般分布转化为标准正态分布，R*一般是负值，可写成, 进一步以R*表示偏离正态，这样求VaR的值变成了求偏离，在密度函数图中就是求分位数的面积，既等于(如公式6)。
(6)
假设参数以时间间隔为基础，所以公式4可以转化为公式7。同理，收益率的分布函数可以是其他分布，如t-分布、广义误差分布（GED）等等都可以按以上方法推算VaR值，变成其他分布函数的分位数。
(7)
(四) 最后风险值的准确性验证
准确性验证是指VaR的测量结果对实际损失的覆盖程度。在一定的置信水平（比如c=0.95）下计算出的VaR值，它的失败率F（VaR值小于实际波动的样本数比总样本数）很难精确地等于0.05，但失败率要在一个怎样的区间才能说这个VaR值是可信的？Kupiec (1995) 提出了一种通行的失败频率检验法。他假定VaR 估计具有时间独立性, 则失败观察的二项式结果代表了一系列独立的贝努里试验, 失败的期望概率为p= 1 - c ( c 为置信水平) 。假设计算VaR 的置信水平为c , 总样本数为T , 失败天数为N , 则失败频率为F= ( N/ T) 。验证的零假设为F = p，这样对VaR 模型准确性的评估就转化为检验失败频率F 是否显著不同于P，Kupiec 提出了对零假设最合适的检验是似然比率检验（如公式10）在零假设条件下, 统计量L R 服从自由度为1 的分布。
(8)
三 、实证分析
本文所选用的数据是从2001年1月1日到2006年9月29日英镑兑美元（GBP/USD）的每日收盘价格，总共1597个交易日（数据来自美通银行的MT4交易平台），假定日收益率为（乘100是把小数换成百分数，以便计算），本文以下数据处理所用的是软件EVIEWS5.0和MATLAB6.5。
(一) 数据的前期整理和分析
1．运用ADF单位根检验方法对此时间序列进行平稳性检验，得出结果是在1%显著下拒绝存在单位根，初步确定收益率序列是平稳序列。
2．序列的统计特征分析：从序列的偏度、峰值和J-B值分析，得出正态分布更长的右拖尾、更高的峰值，所以序列为非正态分布。
3．序列相关性检验：从自相关图看（篇幅有限，图略），没有一阶的相关图超出5％显著相关的虚线。再根据Ljung-Box Q统计量判定，Pr值都超过0.4，确定该序列基本不存在自相关。
4．ARCH效应检验：序列不存在自相关性，从此设定回归方程为：，进行ARCH效应检验（如表1），得出序列存在异方差。对残差的平方进行自相关性检验（篇幅有限，图略）。按Ljung-Box Q统计量检验，Pr值都小于0.01，所以残差存在自相关。
表1 异方差检验
ARCH （ q ）
F-statistic
P 值
结论
1
2.21
0.10
存在异方差
2
4.76
0.01
存在异方差
3
3.64
0.01
存在异方差
(二) ARCH族模型的估计
用GARCH和E-GARCH模型分别进行估计，并假设每个模型的残差分布分别是正态分布（N）、T－分布和广义误差分布（GED），然后比较他们的结果。前文已得出模型的均值方程：，我们按从一般到特别的方法进行模型滞后阶数的设定，根据AIC、SC信息准则判定，确定了两个模型滞后阶数分别是GARCH(1，1)和EGARCH(1，1)，并且两个模型残差分布的假设是三种，模型估计后分别生成GARCH项序列。所得模型的参数如下：
表2 ARCH族模型估计结果 （10-2）
模型
分布

Pr 值

Pr 值

Pr 值
AIC
GARCH
N
2.91
0.01
95.43
0
―
－
141.35
T
2.71
0.20
95.95
0
－
－
140.59
GED
2.81
0.39
95.76
0
－
－
139.74
EGARCH
N
5.43
0.07
98.79
0
1.80
2.03
141.53
T
5.22
0.30
98.97
0
1.65
7.45
140.77
GED
5.31
0.68
98.94
0
1.69
9.18
139.90
首先，按前面的方法，对每个模型进行ARCH效应和残差自相关性检验，得出F统计量和统计量都不显著，Pr值都大于91％，都不存在异方差；按Ljung-Box Q统计量检验，经过ARCH族模型估计后，每个模型的残差项不存在显著的自相关；再者，从总体看每个模型的参数都在1％置信水平下显著，只有EGARCH-T和EGARCH-GED模型的在10％下显著，但是它的值都非常小。所以得模型的估计结果是显著的。
序列的条件方差服从ARCH族模型的过程，该过程的反应系数（误差系数）反映波动对市场运动反应的强度，如果越大波动反映越集中。估计出来的都小于0.1（波动比集中的值），信息对市场的冲击不是非常集中。该过程的持久系数（滞后系数）反映了对条件方差的冲击的消除速度：如果越大波动冲击消散速度越慢，越具持久性。从表1的数据看值都大于0.95，一般大于0.80是有很强的持久性了，所以说明英镑兑美元的交易有很强的滞后反应。所以可以确定序列存在很明显的波动聚类现象。杠杆效应系数为负值时候，反映了利空信息（）比利多信息（）具有的更大波动。从表3的数据看非负，大概是0.017左右，说明英镑兑美元这5年的交易中基本没有所谓的“杠杆效应”，反而出现相反的情况：利多信息引起的波动比利空的大。
(三) VaR的计算
我们从上面已经生成了GARCH项序列（），时间间隔（）是1天，本文VaR值（百分比表示）是衡量收益率的波动，最终算出各个模型在不同置信水平c下的VaR值，进而算出失败率F（如下表3、4）：
模型
分布
F(0.975)
N(0.975)
LR
LR*
VaR 均值
GARCH
N
5.57
8900
4610.4
502.4
96.57
T
3.44
5500
523.2
502.4
107.76
GED
4.94
7900
3066.5
502.4
100.51
EGARCH
N
5.88
9400
5473.3
502.4
96.57
T
3.25
5200
342.5
502.4
107.69
GED
5.07
8100
3354.9
502.4
100.51
模型
分布
F(0.99)
N(0.99)
LR
LR*
VaR 均值
GARCH
N
2.44
3900
2391.9
663.5
114.81
T
1.25
2000
95.1
663.5
132.62
GED
1.56
2500
439.9
663.5
126.32
EGARCH
N
2.31
3700
2039.
663.5
114.80
T
1.31
2100
145.6
663.5
132.62
GED
1.62
2600
534.7
663.5
126.33
注：1.失败是指VaR值小于收益率真实波动的值，LR*是分布在各个置信水平下的临界值，以下均同。
2.为便于填表，表3、4、中的数据单位均是0.01。
风险管理就是要知道楚另外的很小（1％）概率中会发生什么事情，我们模型的估计分析就是为了解释这1％。根据Kupiec方法判定，当LR四、结论
本文对英镑兑美元所用ARCH族模型－VaR方法进行风险量化是比较直观的，并且能对资产的性质特征上能很好的描述，这对我们实际业务操作有着重要的指导意义，最后得出以下重要的结论。
第一，从GARCH和EGARCH模型结果分析， EGARCH模型比GARCH模型估计的结果比较准确，从而显示EGARCH比GARCH模型更具优势、功能更强大。
第二，在英镑兑美元收益率序列中，不存在所谓的“杠杆效应”。主要原因是汇价是两个国家的单位货币的比价，在实际交易中某货币的利空就是某国的利多，并且汇市是双边交易（随时做空做多，和股票单边交易有很大的不同），若是在两国之间经济相对稳定的情况下，信息对每国货币价值的影响应该是等量。再具体看英镑兑美元，从2001年的9.11事件开始，到2006年9月份，美元从1.45跌到1.90左右，足足有4500点的跌幅，美元一直走软的趋势是不可改变。所以相对英镑来说，即使出现利空信息，交易者也不会轻易大量地跟风空镑使其跌幅更加大，所以就没有了“杠杆效应”。
第三，序列存在明显的波动聚类现象，值异常大。主要原因是外汇市场大多交易者是根据市场趋势、气氛、有影响的经济数据以及图形进行交易，这些方法都靠比较长的历史图形和数据分析，所以前期信息滞后影响，估计出值非常大是正常。
第四，在VaR置信水平的设定上，越高置信水平，模型越容易被接受。但是根据VaR值设置风险准备金的时候，高置信水平下进行风险管理，VaR值也高，则需要更多的准备金，所以致信水平上的选择有困难（作者单位：广西师范大学）