数学模型与数学建模

数学模型
数学模型（Mathematical Model）
是近些年发展起来的新学科，是数学理论与实际问题相结合的一门科学。它将现实问题归结为相应的数学问题，并在此基础上利用数学的概念、方法和理论进行深入的分析和研究，从而从定性或定量的角度来刻画实际问题，并为解决现实问题提供精确的数据或可靠的指导。
一、建立数学模型的要求：
1、真实完整。
1）真实的、系统的、完整的,形象的映客观现象；
2）必须具有代表性；
3）具有外推性，即能得到原型客体的信息，在模型的研究实验时，能得到关于原型客体的原因；
4）必须反映完成基本任务所达到的各种业绩，而且要与实际情况相符合。
2、简明实用。在建模过程中，要把本质的东西及其关系反映进去，把非本质的、对反映客观真实程度影响不大的东西去掉，使模型在保证一定精确度的条件下，尽可能的简单和可操作，数据易于采集。
3、适应变化。随着有关条件的变化和人们认识的发展，通过相关变量及参数的调整，能很好的适应新情况。
根据研究目的，对所研究的过程和现象(称为现实原型或原型)的主要特征、主要关系、采用形式化的数学语言，概括地、近似地表达出来的一种结构，所谓“数学化”，指的就是构造数学模型．通过研究事物的数学模型来认识事物的方法，称为数学模型方法．简称为MM方法。
数学模型是数学抽象的概括的产物，其原型可以是具体对象及其性质、关系，也可以是数学对象及其性质、关系。数学模型有广义和狭义两种解释．广义地说，数学概念、如数、集合、向量、方程都可称为数学模型，狭义地说，只有反映特定问题和特定的具体事物系统的数学关系结构方数学模型大致可分为二类：(1)描述客体必然现象的确定性模型，其数学工具一般是代效方程、微分方程、积分方程和差分方程等，（2）描述客体或然现象的随机性模型，其数学模型方法是科学研究相创新的重要方法之一。在体育实践中常常提到优秀运动员的数学模型。如经调查统计．现代的世界级短跑运动健将模型为身高1.80米左右、体重70公斤左右，100米成绩10秒左右或更好等。
用字母、数字和其他数学符号构成的等式或不等式，或用图表、图像、框图、数理逻辑等来描述系统的特征及其内部联系或与外界联系的模型。它是真实系统的一种抽象。数学模型是研究和掌握系统运动规律的有力工具，它是分析、设计、预报或预测、控制实际系统的基础。数学模型的种类很多，而且有多种不同的分类方法。
静态和动态模型 静态模型是指要描述的系统各量之间的关系是不随时间的变化而变化的，一般都用代数方程来表达。动态模型是指描述系统各量之间随时间变化而变化的规律的数学表达式，一般用微分方程或差分方程来表示。经典控制理论中常用的系统的传递函数也是动态模型，因为它是从描述系统的微分方程变换而来的（见拉普拉斯变换）。
分布参数和集中参数模型 分布参数模型是用各类偏微分方程描述系统的动态特性，而集中参数模型是用线性或非线性常微分方程来描述系统的动态特性。在许多情况下，分布参数模型借助于空间离散化的方法，可简化为复杂程度较低的集中参数模型。
连续时间和离散时间模型 模型中的时间变量是在一定区间内变化的模型称为连续时间模型，上述各类用微分方程描述的模型都是连续时间模型。在处理集中参数模型时，也可以将时间变量离散化，所获得的模型称为离散时间模型。离散时间模型是用差分方程描述的。
随机性和确定性模型 随机性模型中变量之间关系是以统计值或概率分布的形式给出的，而在确定性模型中变量间的关系是确定的。
参数与非参数模型 用代数方程、微分方程、微分方程组以及传递函数等描述的模型都是参数模型。建立参数模型就在于确定已知模型结构中的各个参数。通过理论分析总是得出参数模型。非参数模型是直接或间接地从实际系统的实验分析中得到的响应，例如通过实验记录到的系统脉冲响应或阶跃响应就是非参数模型。运用各种系统辨识的方法，可由非参数模型得到参数模型。如果实验前可以决定系统的结构，则通过实验辨识可以直接得到参数模型。
线性和非线性模型 线性模型中各量之间的关系是线性的，可以应用叠加原理，即几个不同的输入量同时作用于系统的响应，等于几个输入量单独作用的响应之和。线性模型简单，应用广泛。非线性模型中各量之间的关系不是线性的，不满足叠加原理。在允许的情况下，非线性模型往往可以线性化为线性模型，方法是把非线性模型在工作点邻域内展成泰勒级数，保留一阶项，略去高阶项，就可得到近似的线性模型。
二、数学模型的定义
现在数学模型还没有一个统一的准确的定义，因为站在不同的角度可以有不同的定义。不过我们可以给出如下定义。"数学模型是关于部分现实世界和为一种特殊目的而作的一个抽象的、简化的结构。"具体来说，数学模型就是为了某种目的，用字母、数学及其它数学符号建立起来的等式或不等式以及图表、图象、框图等描述客观事物的特征及其内在联系的数学结构表达式。
二．建立数学模型的方法和步骤
第一、 模型准备
首先要了解问题的实际背景，明确建模目的，搜集必需的各种信息，尽量弄清对象的特征。 第二、 模型假设
根据对象的特征和建模目的，对问题进行必要的、合理的简化，用精确的语言作出假设，是建模至关重要的一步。如果对问题的所有因素一概考虑，无疑是一种有勇气但方法欠佳的行为，所以高超的建模者能充分发挥想象力、洞察力和判断力，善于辨别主次，而且为了使处理方法简单，应尽量使问题线性化、均匀化。
第三、 模型构成
根据所作的假设分析对象的因果关系，利用对象的内在规律和适当的数学工具，构造各个量间的等式关系或其它数学结构。这时，我们便会进入一个广阔的应用数学天地，这里在高数、概率老人的膝下，有许多可爱的孩子们，他们是图论、排队论、线性规划、对策论等许多许多，真是泱泱大国，别有洞天。不过我们应当牢记，建立数学模型是为了让更多的人明了并能加以应用，因此工具愈简单愈有价值。
第四、模型求解
可以采用解方程、画图形、证明定理、逻辑运算、数值运算等各种传统的和近代的数学方法，特别是计算机技术。一道实际问题的解决往往需要纷繁的计算，许多时候还得将系统运行情况用计算机模拟出来，因此编程和熟悉数学软件包能力便举足轻重。
第五、模型分析
对模型解答进行数学上的分析。"横看成岭侧成峰，远近高低各不"。能否对模型结果作出细致精当的分析，决定了你的模型能否达到更高的档次。还要记住，不论那种情况都需进行误差分析，数据稳定性分析。
第六数学模型分类:
按模型的应用领域分类：
生物数学模型
医学数学模型
地质数学模型
数量经济学模型
数学社会学模型
数学物理学模型
按是否考虑随机因素分类：
确定性模型
随机性模型
按是否考虑模型的变化分类：
静态模型
动态模型
按应用离散方法或连续方法分类：
离散模型
连续模型
按建立模型的数学方法分类：
几何模型
微分方程模型
图论模型
规划论模型
马氏链模型
按人们对是物发展过程的了解程度分类：
白箱模型：
指那些内部规律比较清楚的模型。如力学、热学、电学以及相关的工程技术问题。
灰箱模型：
指那些内部规律尚不十分清楚，在建立和改善模型方面都还不同程度地有许多工作要做的问题。如气象学、生态学经济学等领域的模型。
黑箱模型：
指一些其内部规律还很少为人们所知的现象。如生命科学、社会科学等方面的问题。但由于因素众多、关系复杂，也可简化为灰箱模型来研究。
三、数学模型的作用
（1） 能将思维过程简约化。 能有效简约地反映了思维的过程，是将思维过程用语言符号外化的结果。
（2） 能体现人的数学观念、意识和能力。学生对数学模型的理解、把握与构建的能力，在很大程度上反映了他的数学思维能力、数学观念及意识，能体现他运用数学的方式，说明客观事物本质特征：“这是什么”的能力。
（3） 能对问题进行本质化、一般化的反映。小学生在研究具体问题时，也是通过分析、比较、判断、推理等思维活动，来探究、挖掘具体事物的本质及关系的，而最终以模型，以“这是什么”的方式将其间的规律揭示出来，使复杂的问题本质化，甚至将其一般化。
（4） 能将数学理论用于实践解决实际问题。数学模型是数学基础知识与数学应用之间的桥梁，建立和处理数学模型的过程，就是将数学理论知识应用于实际来解释“这是什么”的过程。
（5） 能使数学与生活相联系体现数学的工具性。建立模型需要一定的生活情景作为依托，学生能体会到实际情景中的数学，在建立模型，形成新的数学知识的过程中，学生能更加体会到数学与大自然和人文环境的自然联系。在小学数学教学中，让学生从现实问题情景中学数学、做数学、用数学，在实践中感受数学的工具性，使“问题解决”，回答“这是什么”才有了相应的环境与氛围。
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数学建模
什么是数学建模
数学建模就是用数学语言描述实际现象的过程。这里的实际现象既包涵具体的自然现象比如自由落体现象，也包涵抽象的现象比如顾客对某种商品所取的价值倾向。这里的描述不但包括外在形态，内在机制的描述，也包括预测，试验和解释实际现象等内容。
我们也可以这样直观地理解这个概念：数学建模是一个让纯粹数学家（指只懂数学不懂数学在实际中的应用的数学家）变成物理学家，生物学家，经济学家甚至心理学家等等的过程。
数学模型一般是实际事物的一种数学简化。它常常是以某种意义上接近实际事物的抽象形式存在的，但它和真实的事物有着本质的区别。要描述一个实际现象可以有很多种方式，比如录音，录像，比喻，传言等等。为了使描述更具科学性，逻辑性，客观性和可重复性，人们采用一种普遍认为比较严格的语言来描述各种现象，这种语言就是数学。使用数学语言描述的事物就称为数学模型。有时候我们需要做一些实验，但这些实验往往用抽象出来了的数学模型作为实际物体的代替而进行相应的实验，实验本身也是实际操作的一种理论替代。
数学是研究现实世界数量关系和空间形式的科学，在它产生和发展的历史长河中，一直是和各种各样的应用问题紧密相关的。数学的特点不仅在于概念的抽象性、逻辑的严密性，结论的明确性和体系的完整性，而且在于它应用的广泛性，进入20世纪以来，随着科学技术的迅速发展和计算机的日益普及，人们对各种问题的要求越来越精确，使得数学的应用越来越广泛和深入，特别是在即将进入21世纪的知识经济时代，数学科学的地位会发生巨大的变化，它正在从国或经济和科技的后备走到了前沿。经济发展的全球化、计算机的迅猛发展，数学理伦与方法的不断扩充使得数学已经成为当代高科技的一个重要组成部分和思想库，数学已经成为一种能够普遍实施的技术。培养学生应用数学的意识和能力已经成为数学教学的一个重要方面。
应用数学去解决各类实际问题时，建立数学模型是十分关键的一步，同时也是十分困难的一步。建立教学模型的过程，是把错综复杂的实际问题简化、抽象为合理的数学结构的过程。要通过调查、收集数据资料，观察和研究实际对象的固有特征和内在规律，抓住问题的主要矛盾，建立起反映实际问题的数量关系，然后利用数学的理论和方法去分析和解决问题。这就需要深厚扎实的数学基础，敏锐的洞察力和想象力，对实际问题的浓厚兴趣和广博的知识面。数学建模是联系数学与实际问题的桥梁，是数学在各个领械广泛应用的媒介，是数学科学技术转化的主要途径，数学建模在科学技术发展中的重要作用越来越受到数学界和工程界的普遍重视，它已成为现代科技工作者必备的重要能力之。为了适应科学技术发展的需要和培养高质量、高层次科技人才，数学建模已经在大学教育中逐步开展，国内外越来越多的大学正在进行数学建模课程的教学和参加开放性的数学建模竞赛，将数学建模教学和竞赛作为高等院校的教学改革和培养高层次的科技人才的个重要方面，现在许多院校正在将数学建模与教学改革相结合，努力探索更有效的数学建模教学法和培养面向21世纪的人才的新思路，与我国高校的其它数学类课程相比，数学建模具有难度大、涉及面广、形式灵活，对教师和学生要求高等特点，数学建模的教学本身是一个不断探索、不断创新、不断完善和提高的过程。为了改变过去以教师为中心、以课堂讲授为主、以知识传授为主的传统教学模式，数学建模课程指导思想是：以实验室为基础、以学生为中心、以问题为主线、以培养能力为目标来组织教学工作。通过教学使学生了解利用数学理论和方法去分析和解决问题的全过程，提高他们分析问题和解决问题的能力；提高他们学习数学的兴趣和应用数学的意识与能力，使他们在以后的工作中能经常性地想到用数学去解决问题，提高他们尽量利用计算机软件及当代高新科技成果的意识，能将数学、计算机有机地结合起来去解决实际问题。数学建模以学生为主，教师利用一些事先设计好问题启发，引导学生主动查阅文献资料和学习新知识，鼓励学生 积极开展讨论和辩论，培养学生主动探索，努力进取的学风，培养学生从事科研工作的初步能力，培养学生团结协作的精神、形成一个生动活泼的环境和气氛，教学过程的重点是创造一个环境去诱导学生的学习欲望、培养他们的自学能力，增强他们的数学素质和创新能力，提高他们的数举素质，强调的是获取新知识的能力，是解决问题的过程，而不是知识与结果。接受参加数学建模竞赛赛前培训的同学大都需要学习诸如数理统计、最优化、图论、微分方程、计算方法、神经网络、层次分析法、模糊数学，数学软件包的使用等等“短课程”（或讲座），用的学时不多，多数是启发性的讲一些基本的概念和方法，主要是靠同学们自己去学，充分调动同学们的积极性，充分发挥同学们的潜能。培训中广泛地采用的讨论班方式，同学自己报告、讨论、辩论，教师主要起质疑、答疑、辅导的作用，竞赛中一定要使用计算机及相应的软件，如Mathemathmatica,Matlab,Mapple，甚至排版软件等。
数学建模的几个过程
模型准备：了解问题的实际背景，明确其实际意义，掌握对象的各种信息。用数学语言来描述问题。
模型假设：根据实际对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的简化，并用精确的语言提出一些恰当的假设。
模型建立：在假设的基础上，利用适当的数学工具来刻划各变量之间的数学关系，建立相应的数学结构。（尽量用简单的数学工具）
模型求解：利用获取的数据资料，对模型的所有参数做出计算（估计）。
模型分析：对所得的结果进行数学上的分析。
模型检验：将模型分析结果与实际情形进行比较，以此来验证模型的准确性、合理性和适用性。如果模型与实际较吻合，则要对计算结果给出其实际含义，并进行解释。如果模型与实际吻合较差,则应该修改假设，再次重复建模过程。
模型应用：应用方式因问题的性质和建模的目的而异。
建模概论
数学模型、数学建模及其过程
数学模型：对于现实中的原型，为了某个特定目的，作出一些必要的简化和假设，运用适当的数学工具得到一个数学结构。也可以说，数学建模是利用数学语言（符号、式子与图象）模拟现实的模型。把现实模型抽象、简化为某种数学结构是数学模型的基本特征。它或者能解释特定现象的现实状态，或者能预测到对象的未来状况，或者能提供处理对象的最优决策或控制。
数学建模：(Mathematical Modelling)把现实世界中的实际问题加以提炼，抽象为数学模型，求出模型的解，验证模型的合理性，并用该数学模型所提供的解答来解释现实问题，我们把数学知识的这一应用过程称为数学建模。
数学建模的几个过程：
模型准备 ：了解问题的实际背景，明确其实际意义，掌握对象的各种信息。用数学语言来描述问题。
模型假设 ：根据实际对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的简化，并用精确的语言提出一些恰当的假设。
模型建立 ：在假设的基础上，利用适当的数学工具来刻划各变量之间的数学关系，建立相应的数学结构。（尽量用简单的数学工具）
模型求解 ：利用获取的数据资料，对模型的所有参数做出计算（估计）。
模型分析 ：对所得的结果进行数学上的分析。
模型检验 ：将模型分析结果与实际情形进行比较，以此来验证模型的准确性、合理性和适用性。如果模型与实际较吻合，则要对计算结果给出其实际含义，并
进行解释。如果模型与实际吻合较差,则应该修改假设，在次重复建模过程。
模型应用 ：应用方式因问题的性质和建模的目的而异。
学习数学建模的目的：
(1)体会数学的应用价值，培养数学的应用意识；
(2)增强数学学习兴趣，学会团结合作，提高分析和解决问题的能力；
(3)知道数学知识的发生过程，培养数学创造能力。
数学模型的分类

按模型的应用领域分类：
生物数学模型
医学数学模型
地质数学模型
数量经济学模型
数学社会学模型
按是否考虑随机因素分类：
确定性模型
随机性模型
按是否考虑模型的变化分类：
静态模型
动态模型
按应用离散方法或连续方法分类：
离散模型
连续模型
按建立模型的数学方法分类：
几何模型
微分方程模型
图论模型
规划论模型
马氏链模型
按人们对是物发展过程的了解程度分类：
白箱模型：
指那些内部规律比较清楚的模型。如力学、热学、电学以及相关的工程技术问题。
灰箱模型：
指那些内部规律尚不十分清楚，在建立和改善模型方面都还不同程度地有许多工作要做的问题。如气象学、生态学经济学等领域的模型。
黑箱模型：
指一些其内部规律还很少为人们所知的现象。如生命科学、社会科学等方面的问题。但由于因素众多、关系复杂，也可简化为灰箱模型来研究。
王琦老师推荐的建模的方法
[这个贴子最后由路人甲在 2004/03/27 07:26pm 第 2 次编辑]
建模的方法的确很多，选择的依据可以是将来的结果需要、建模的类型、个人的熟练程度等。
（1）结果需要如果将来只表现静态的艺术模型，自由度比较大，需要考虑是否有贴图需要，这也是要考虑的，用Polygon对艺术家来说比较直观。如果要制作动画，模型要求不一样，NURBS的一些模型过于复杂，做角色 时*作会很不方便，除非有高级的软件功能支持（例如Maya）。如果为游戏制作模型，需要严格考虑模型的表面数目，可以说Polygon是目前的必选，而细分曲面是发展方向，NURBS是不行的。 如果为电影制作模型，尤其是曲面模型，需要提供极高的精度和可变的精度调节，所以NURBS和细分目前在电影工业使用比较多。
如果是给工业设计单位设计产品，用NURBS是必须的，因为这是产生合理曲面（可以实现生产）的工具，方法是和Polygon完全不同的，因为一个铁皮茶壶，生产工艺是用平面的铁皮围成的，所以NURBS就是用片的概念来成型，最后可以计算出面的面积，求出剪切铁皮的最佳方法等等。这也是一种工业，还有铸造工业，和这个又不同，一般使用实体建模的方法，这个在MAX等三维动画软件中是不支持的，需要使用专门的软件，例如UG、SolidWorks、ProE等。这方面我知道的也不多，反正Rhino和Alias Studio Tools、SolidThinking这类NURBS专长的软件一般用于工业形象设计，也就是CAID，真正的工业产品设计还不是这个，需要UG、SolidWorks、ProE这类软件，有本台湾的《CAD Design》杂志是专门讲这个的。如果是建筑模型设计，和CAD的平面图纸也密不可分，不过MAX支持AutoCAD的DWG文件，所以常用在效果图和建筑动画的 形象表现上，一般用Polygon比较多，当然没有太多的局限性。
（2）建模的类型目前建模的方法有很多种，不同三维软件支持的也不一样。这里只就MAX支持的讨论一下。
多边形：Loft、Edit Poly、Edit Mesh、HSDS还有大量的修改工具，可以说MAX的建模系统是基于多边形的，毕竟1.0版的时候还没有NURBS和Patch。这里面的工具在制作影视片头、建筑效果方面足够使用了。
Edit Poly是新发展的角色建模工具，有替代Edit Mesh＋Meshsmooth组合的趋势，就是你说的推箱子的方法，用于角色人物模型的制作比较合适。HSDS是目前国际流行的细分建模，类似NURBS的多边形编辑工具，可以节省表面，不过在MAX中发展不大，不如Edit Poly有发展。一般的小模型都可以用这些方法组合实现，MAX中有太多的工具可以使用了。
NURBS：在MAX中应该是个独立的建模体系，也是诟病最多的，其实它本身还是不错的，很多微小的进步是随版本提升的，例如5.0版，感觉速度又有了提高。虽然用它做汽车不是一个好的选择，但做要求不高的一般曲面模型足够了。如果掌握了，可以是多边形建模的一个好的补充，不过不建议用它做角色模型，你可以用它给角色做个腕表、戒指什么的。一些建筑模型也不建议用它制作，但可以用来制作家里的一些摆设、家具。做产品广告除了文字，其它的产品模型可以考虑用它来制作，只要将来没有太多的角色表现就行，例如做个手机、酒瓶什么的。
Patch：这应该是MAX吸纳的一个建模插件，用线条编织的方法建模，主要提供给角色建模，的确是个比较好的工具，尤其是易于修改和调整，在当时风靡一时，很多人喜欢用它来建角色。不过对制作者的空间要求比较高，制作略繁琐，不如推箱子简单，而且到MAX5一直没有进步，现在反而不如Edit Poly更加受人喜欢。当然也可以用它来建其它类型的模型，如果你喜欢这种工具，建什么都没有问题。不过如果你没有那么多的精力，建议学会前两种就可以了，完全可以够用。（那个Add Patch不算一种方法，也属于面片建模）
古怪建模方法：还有很多插件或其它软件提供的另类建模方法，这里我比较喜欢照片建模，例如ImageModel，通过几张不同角度的照片打点，就可以建出准确的模型，用在制作互联网上的产品演示、建筑动画的佩景模型制作都非常有价值。
（3）个人熟练程度 这个也很重要，你还要了解软件的发展历史，很多功能是不断发明和增加进去的，过去学习和现在学习的人用的方法都不一定一样。MAX中的LOFT就是一个很好的多边形建模工具，起源与3DS，最早期的人都能用它创建很复杂的模型，我当时用它什么都建，复杂的工业模型、动植物、建筑等等。当时建角色模型要用一个一个空间点来成三角面拼出模型来，无法想象的艰难。如果把你一个人扔在荒岛上，只有一把刀，你也能造出一条船来，就是这个道理。后来在2.0的时候加入了NURBS，但到了3.0才开始完善，可以很好的补充多边形建模的不足。尤其是复杂的曲面模型。
Patch虽然早期就有，但只有Add Patch这样的简陋功能，但当时也有人用这个方法建出跑车来的。后来在3.1版完善了，也就是买入了那个Surface Tools的插件，这个工具使角色建模有了重大的突破。推箱子的方法虽然很早就有，不过工具不全，而且只掌握在少数人手里，后来越来越浮出水面，现在5.0版全面的Edit Poly工具已经非常强大，角色模型更加容易制作。MAX其实还有个脚本，可以实现Maya的Paint笔触建模的功能，在5.0的软件里已经有提供，叫Macro_PolySculptTools，对艺术家来说应该比较喜欢。
工具多了，才出现选择难的问题，其实任何一种都可以做出几乎所有的模型，不要把过多时间放在选择建模的方法上，重要的是必须有一种你学的足够精通，可以应付90％的建模要求，其它的再掌握一些就足够。其实目的就是建出模型，谁都不会问你建模的方法，只会看你完成的作品怎样。当然掌握好的建模技术也是必要的，可以节省建模的时间、好的模型也更容易贴图和制作动画、精简的模型还能大大的节省渲染时间，这些都是建好模型的要求。