洛仑兹变换的数学推导

来源：百度文库 编辑：神马文学网 时间：2024/06/03 11:08:06
其实洛仑兹变换的数学推导并不难，只需要中学的知识就行，请大家耐心一点，我们开始。 我们选择S系和S’系的坐标轴x和x'重合，y、y'和z、z'相互平行，且S'系沿x-x'轴相对于S系以速度v作匀速直线运动，并设当S和S'的原点O和O'重合时，两坐标系的钟的读数分别为t=0和t'=0.根据经验，我们假设所求的空间-时间坐标变换是线性的，因此变换方程式可设为：x'=a11(x-vt)y'=y }(1)z'=zt'=a41x+a44t式中a11,a41,a44是待定常数。 为了求出待定常数，我们利用光速不变原理，假定在两惯性系原点重合时（t=t'=0）有一闪光从原点发出，根据光速不变原理，两参考系上的观察者都将看到光以同样的速度c向外传播，换句话说，每一个观察者采用他们自己的坐标系，都看到波前是以自己的原点为中心的球面，其半径等于c乘以时间。这样，S系与S'系的波前方程分别是x²+y²+z²-c²t²=0………………………..(2)与x'²+y'²+z'²-c²t'²=0………………………(3)把变换（1）代入(3)式的S’系的波前方程，计及y’=y, z’=z得（a11²-c²a41²）x²-2(va11²+c²a41aa44)xt+y²+z²-(c²a44²-v²a11²)t²=0这应当就是S系的波前方程(2)，比较它们的方程的系数有：a11²-c²a41²=1va11²+c²a41aa44=0c²a44²-v²a11²=c²由此三个方程解得：a11=1/sqrt(1-v²/c²)a41=-(v/c²)/sqrt(1-v²/c²)a44=1/sqrt(1-v²/c²)将所得的a11,a41,a44代回（1）式就得到洛仑兹变换：x’=γ(x-vt)y’=y }(4)z’=zt’=γ(t-vx/c²)式中γ=1/sqrt(1-v²/c²)由于伽利略变换却是：x'=x-ut y'=y z'=z t'= t比较一下洛仑兹变换伽利略变换，不难发现在运动系S’发生了尺缩钟慢。也就是说，S’系的速度u越大，它的长度会变得越小，时间也会越短。
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