介绍数学分析内容体系中体现的函数＼极限＼连续＼可导＼积分＼级数思想的产生，发展，内涵，本质及应用

二、极限的思想
极限的思想是近代数学的一种重要思想，数学分析就是以极限概念为基础、极限理论(包括级数)为主要工具来研究函数的一门学科。
所谓极限的思想，是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想。用极限思想解决问题的一般步骤可概括为：对于被考察的未知量，先设法构思一个与它有关的变量，确认这变量通过无限过程的结果就是所求的未知量；最后用极限计算来得到这结果。
极限思想是微积分的基本思想，数学分析中的一系列重要概念，如函数的连续性、导数以及定积分等等都是借助于极限来定义的。如果要问：“数学分析是一门什么学科?”那么可以概括地说：“数学分析就是用极限思想来研究函数的一门学科”。
1.极限思想的产生与发展
（1）极限思想的由来.
与一切科学的思想方法一样，极限思想也是社会实践的产物。极限的思想可以追溯到古代，刘徽的割圆术就是建立在直观基础上的一种原始的极限思想的应用；古希腊人的穷竭法也蕴含了极限思想，但由于希腊人“对无限的恐惧”，他们避免明显地“取极限”，而是借助于间接证法——归谬法来完成了有关的证明。
到了16世纪，荷兰数学家斯泰文在考察三角形重心的过程中改进了古希腊人的穷竭法，他借助几何直观，大胆地运用极限思想思考问题，放弃了归缪法的证明。如此，他就在无意中“指出了把极限方法发展成为一个实用概念的方向”。
（2）极限思想的发展
极限思想的进一步发展是与微积分的建立紧密相联系的。16世纪的欧洲处于资本主义萌芽时期，生产力得到极大的发展，生产和技术中大量的问题，只用初等数学的方法已无法解决，要求数学突破只研究常量的传统范围，而提供能够用以描述和研究运动、变化过程的新工具，这是促进极限发展、建立微积分的社会背景。
起初牛顿和莱布尼茨以无穷小概念为基础建立微积分，后来因遇到了逻辑困难，所以在他们的晚期都不同程度地接受了极限思想。牛顿用路程的改变量ΔＳ与时间的改变量Δｔ之比ΔＳ／Δｔ表示运动物体的平均速度，让Δｔ无限趋近于零，得到物体的瞬时速度，并由此引出导数概念和微分学理论。他意识到极限概念的重要性，试图以极限概念作为微积分的基础，他说：“两个量和量之比，如果在有限时间内不断趋于相等，且在这一时间终止前互相靠近，使得其差小于任意给定的差，则最终就成为相等”。但牛顿的极限观念也是建立在几何直观上的，因而他无法得出极限的严格表述。牛顿所运用的极限概念，只是接近于下列直观性的语言描述：“如果当ｎ无限增大时，ａｎ无限地接近于常数Ａ，那么就说ａｎ以Ａ为极限”。
这种描述性语言，人们容易接受，现代一些初等的微积分读物中还经常采用这种定义。但是，这种定义没有定量地给出两个“无限过程”之间的联系，不能作为科学论证的逻辑基础。
正因为当时缺乏严格的极限定义，微积分理论才受到人们的怀疑与攻击，例如，在瞬时速度概念中，究竟Δｔ是否等于零?如果说是零，怎么能用它去作除法呢?如果它不是零，又怎么能把包含着它的那些项去掉呢?这就是数学史上所说的无穷小悖论。英国哲学家、大主教贝克莱对微积分的攻击最为激烈，他说微积分的推导是“分明的诡辩”。
贝克莱之所以激烈地攻击微积分，一方面是为宗教服务，另一方面也由于当时的微积分缺乏牢固的理论基础，连牛顿自己也无法摆脱极限概念中的混乱。这个事实表明，弄清极限概念，建立严格的微积分理论基础，不但是数学本身所需要的，而且有着认识论上的重大意义。
（3）极限思想的完善
极限思想的完善与微积分的严格化密切联系。在很长一段时间里，微积分理论基础的问题，许多人都曾尝试解决，但都未能如愿以偿。这是因为数学的研究对象已从常量扩展到变量，而人们对变量数学特有的规律还不十分清楚；对变量数学和常量数学的区别和联系还缺乏了解；对有限和无限的对立统一关系还不明确。这样，人们使用习惯了的处理常量数学的传统思想方法，就不能适应变量数学的新需要，仅用旧的概念说明不了这种“零”与“非零”相互转化的辩证关系。
到了18世纪，罗宾斯、达朗贝尔与罗依里埃等人先后明确地表示必须将极限作为微积分的基础概念，并且都对极限作出过各自的定义。其中达朗贝尔的定义是：“一个量是另一个量的极限，假如第二个量比任意给定的值更为接近第一个量”，它接近于极限的正确定义；然而，这些人的定义都无法摆脱对几何直观的依赖。事情也只能如此，因为19世纪以前的算术和几何概念大部分都是建立在几何量的概念上面的。
首先用极限概念给出导数正确定义的是捷克数学家波尔查诺，他把函数ｆ（ｘ）的导数定义为差商Δｙ／Δｘ的极限ｆ′（ｘ），他强调指出ｆ′（ｘ）不是两个零的商。波尔查诺的思想是有价值的，但关于极限的本质他仍未说清楚。
到了19世纪，法国数学家柯西在前人工作的基础上，比较完整地阐述了极限概念及其理论，他在《分析教程》中指出：“当一个变量逐次所取的值无限趋于一个定值，最终使变量的值和该定值之差要多小就多小，这个定值就叫做所有其他值的极限值，特别地，当一个变量的数值（绝对值）无限地减小使之收敛到极限0，就说这个变量成为无穷小”。
柯西把无穷小视为以0为极限的变量，这就澄清了无穷小“似零非零”的模糊认识，这就是说，在变化过程中，它的值可以是非零，但它变化的趋向是“零”，可以无限地接近于零。
柯西试图消除极限概念中的几何直观，作出极限的明确定义，然后去完成牛顿的愿望。但柯西的叙述中还存在描述性的词语，如“无限趋近”、“要多小就多小”等，因此还保留着几何和物理的直观痕迹，没有达到彻底严密化的程度。
为了排除极限概念中的直观痕迹，维尔斯特拉斯提出了极限的静态的定义，给微积分提供了严格的理论基础。所谓 ａｎ＝Ａ，就是指：“如果对任何ε＞0，总存在自然数Ｎ，使得当ｎ＞Ｎ时，不等式｜ａｎ－Ａ｜＜ε恒成立”。
这个定义，借助不等式，通过ε和Ｎ之间的关系，定量地、具体地刻划了两个“无限过程”之间的联系。因此，这样的定义是严格的，可以作为科学论证的基础，至今仍在数学分析书籍中使用。在该定义中，涉及到的仅仅是数及其大小关系，此外只是给定、存在、任取等词语，已经摆脱了“趋近”一词，不再求助于运动的直观。
众所周知，常量数学静态地研究数学对象，自从解析几何和微积分问世以后，运动进入了数学，人们有可能对物理过程进行动态研究。之后，维尔斯特拉斯建立的ε－Ｎ语言，则用静态的定义刻划变量的变化趋势。这种“静态——动态——静态”的螺旋式的演变，反映了数学发展的辩证规律。
2.极限思想的思维功能
极限思想在现代数学乃至物理学等学科中有着广泛的应用，这是由它本身固有的思维功能所决定的。极限思想揭示了变量与常量、无限与有限的对立统一关系，是唯物辩证法的对立统一规律在数学领域中的应用。借助极限思想，人们可以从有限认识无限，从“不变”认识“变”，从直线形认识曲线形，从量变认识质变，从近似认识精确。
无限与有限有本质的不同，但二者又有联系，无限是有限的发展。无限个数的和不是一般的代数和，把它定义为“部分和”的极限，就是借助于极限的思想方法，从有限来认识无限的。
“变”与“不变”反映了事物运动变化与相对静止两种不同状态，但它们在一定条件下又可相互转化，这种转化是“数学科学的有力杠杆之一”。例如，要求变速直线运动的瞬时速度，用初等方法是无法解决的，困难在于速度是变量。为此，人们先在小范围内用匀速代替变速，并求其平均速度，把瞬时速度定义为平均速度的极限，就是借助于极限的思想方法，从“不变”来认识“变”的。
曲线形与直线形有着本质的差异，但在一定条件下也可相互转化，正如恩格斯所说：“直线和曲线在微分中终于等同起来了”。善于利用这种对立统一关系是处理数学问题的重要手段之一。直线形的面积容易求得，求曲线形的面积问题用初等的方法是不能解决的。刘徽用圆内接多边形逼近圆，一般地，人们用小矩形的面积来逼近曲边梯形的面积，都是借助于极限的思想方法，从直线形来认识曲线形的。
量变和质变既有区别又有联系，两者之间有着辩证的关系。量变能引起质变，质和量的互变规律是辩证法的基本规律之一，在数学研究工作中起着重要作用。对任何一个圆内接正多边形来说，当它边数加倍后，得到的还是内接正多边形，是量变而不是质变；但是，不断地让边数加倍，经过无限过程之后，多边形就“变”成圆，多边形面积便转化为圆面积。这就是借助于极限的思想方法，从量变来认识质变的。
近似与精确是对立统一关系，两者在一定条件下也可相互转化，这种转化是数学应用于实际计算的重要诀窍。前面所讲到的“部分和”、“平均速度”、“圆内接正多边形面积”，分别是相应的“无穷级数和”、“瞬时速度”、“圆面积”的近似值，取极限后就可得到相应的精确值。这都是借助于极限的思想方法，从近似来认识精确的。
3．建立概念的极限思想
极限的思想方法贯穿于数学分析课程的始终。可以说数学分析中的几乎所有的概念都离不开极限。在几乎所有的数学分析著作中，都是先介绍函数理论和极限的思想方法,然后利用极限的思想方法给出连续函数、导数、定积分、级数的敛散性、多元函数的偏导数,广义积分的敛散性、重积分和曲线积分与曲面积分的概念。如：
（1）函数 在 点连续的定义，是当自变量的增量 时，函数值的增量 趋于零的极限。
（2）函数 在 点导数的定义，是函数值的增量 与自变量的增量 之比 ，当 时的极限。
（3）函数 在 上的定积分的定义，是当分割的细度趋于零时，积分和式 的极限。
（4）数项级数 的敛散性是用部分和数列 的极限来定义的。
（5）广义积分 是定积分 其中 为任意大于 的实数）当 时的极限，等等。
4．解决问题的极限思想
极限思想方法是数学分析乃至全部高等数学必不可少的一种重要方法，也是数学分析与初等数学的本质区别之处。数学分析之所以能解决许多初等数学无法解决的问题（例如求瞬时速度、曲线弧长、曲边形面积、曲面体体积等问题），正是由于它采用了极限的思想方法。
有时我们要确定某一个量，首先确定的不是这个量的本身而是它的近似值，而且所确定的近似值也不仅仅是一个而是一连串越来越准确的近似值；然后通过考察这一连串近似值的趋向，把那个量的准确值确定下来。这就是运用了极限的思想方法。
四、导数的思想
1．导数概念的引入
15世纪文艺复兴以后的欧洲，资本主义逐渐发展，采矿冶炼、机器发明、商业交往、枪炮制造、远洋航海、天象观测等大量实际问题，给数学提出了前所未有的亟待解决的新课题。其中有两类问题导致了导数概念的产生：
（1）求变速运动的瞬时速度
（2）求曲线上一点处的切线
这两类问题都归结为变量变化的快慢程度，即变化率问题。牛顿从第一个问题出发，莱
布尼兹从第二个问题出发，分别给出了导数的概念。
（1）求变速运动的瞬时速度
通常人们所说的物体的运动速度，是指物体在一段时间内的平均速度。例如：一汽车从甲地出发到达乙地，全程120公里，行驶4小时，则汽车行驶的平均速度是30公里/小时。事实上，汽车并不是每时每刻都以30公里每小时的速度行驶，这是因为，下坡时会跑得快些，上坡时会跑得慢些，也可能中途停车等等，即汽车每时每刻的速度是变化的。一般来说平均速度并不能反映汽车在某一时刻的瞬时速度。随着科学技术的发展，我们仅仅知道物体运动的平均速度是不够的，还要知道物体在某一时刻的瞬时速度。例如：研究子弹头的穿透能力必须知道弹头接触目标的瞬时速度。
下当 变化时，平均速度 也随着发生变化；当 较小时，平均速度 是物体在时刻 处“瞬时速度”的近似值，当 越小其近似程度就越好。于是，物体在时刻 的瞬时速度就是当 无限趋近于0（ ）时，平均速度 的极限。即 =
上式既是瞬时速度的定义，也给出了计算瞬时速度的方法。
（2）求曲线上一点处的切线斜率
问题：设有一条平面曲线，它的方程是 ，求过该曲线上一点 （ ）处的切线斜率？
解决方法：要求的切线斜率是一个未知量，但它并不是一个孤立的概念，它与已知的割线有着密切的关系。
为了揭示这一关系，在此平面曲线上另外任取一点 ，
设它的坐标是 ，其中
由解析几何的知识：过曲线 上两点 ， 的割线斜率为 ，当 变化时，点 在曲线上变动，割线 的斜率 也在变化。当 越来越小时，点 沿曲线逐渐趋近于点 ，割线 逐渐趋近于过点 的切线 。
于是，当 时，点 ，割线 极限位置就是过点 的切线 ，同时 的斜率 的极限就是切线 的斜率。即
上式给出了切线的定义，也给出了计算切线斜率的方法。
上述两个问题的实际意义完全不同，一个是物理学中的瞬时速度，一个是几何学中的切线斜率。但从数量关系来看，它们有着完全相同的数学结构--—函数的改变量与自变量改变量之比的极限，可归为同一类数学运算。
即：如果用函数 来表示某一现象的变化规律，则这一类型的数学运算是：
①在 给自变量一个改变量 ，得到相应函数的改变量 ，
②写出比值 ，
③求出极限 。
2．导数的定义
（1）设函数 在 的某邻域内有定义，在 处自变量 的改变量是 ，相应的函数的改变量是 ，若极限 存在，则称函数 在 点可导（或存在），此极限称为函数 在 点的导数（或微商）。记作： 或 ，
即 或
（2）如果函数 在区间 内的每一点处都可导，则称函数 在区间 内可导。这时，函数 对于区间 内的每一个 值都对应着一个确定的导数 ，则称 为函数 的导函数。即
3．导数定义的理解
（1）导数是一种特定结构的极限----比式的极限----函数的改变量与自变量改变量之比的极限。
（2）极限 存在，则称函数 在 点可导；极限 不存在，则称函数 在 点不可导。
（3）只有函数 在 点和 点的某邻域内有定义时，才能考虑函数在该点的导数，即导数 与函数 在 点及其附近的值有关。
（4）函数在一点的导数 是 在 点的局部变化率；函数在区间上可导，是用一点可导来定义的，因此仍然没有改变可导的局部性质。
（5）由导数的定义可推出：函数 在 点可导必有函数 在 点连续；但反之不然。因此连续是可导的必要条件。
（6）导函数 与一点的导数 的关系：导函数 是 的函数， 表示导函数 在 的特定值（函数 在 的函数值）。因此，求 的方法可以用定义，也可以先求出 ，再将 代替 中的 ，但不允许先将 中的 代替成 后再求导。
对分段函数在分段点的导数，我们一般用定义来求，有时还要考虑在分段点的左右导数。
4．导数思想的应用
（1）导数实际意义的应用
①如果物体运动的规律是 ，则物体在 时的瞬时速度是 在 的导数 。
②如果平面曲线的方程是 ，则曲线在点 （ ）的切线斜率 是 在 的导数 。
（2）微分中值定理及其应用
微分中值定理反映了导数更深刻的性质，也是导数应用的理论基础。微分中值定理应包括罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、泰劳中值定理。
在对微分中值定理的理解和掌握方面要重视以下几点：
① 微分中值定理的条件和结论各是什么？
② 当微分中值定理的条件不完全满足时，结论是否还成立？
③ 微分中值定理条件和结论的几何意义。
④ 中值点 点的存在性、唯一性、可求性讨论。
⑤ 微分中值定理证明和应用中的辅助函数构造。
⑥ 微分中值定理的作用是联系函数与函数导数的纽带，是建立函数与其导数关系的
桥梁。罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理将函数与其一阶导数进行联系，泰劳中值定理将函数与其高阶导数进行联系。
微分中值定理的应用：
①证明方程根的存在性
例1 若 在 上连续，在 内可导， ，证明在 内方程
至少存在一个根。
证明：令
显然 在 上连续，在 内可导，又
根据罗尔中值定理知，至少存在一点 ，使 ，
即在 内方程 至少存在一个根 。
②证明等式
例2 证明恒等式
证明：设
当 时，
=
故有 ,令 代入得：
故当 时，
又因为上式左端的函数在 左连续，在 右连续，分别取极限即知，当 和 时，
上式也成立。故
例3 设 在 上连续（ ），在 内可导，且 ，
证明 ，其中 在 内。
证明：对 和 在 上应用柯西中值定理得：
存在 ，使 ，即
对 在 上应用拉格朗日中值定理得： 使 ，
故
③证明不等式
例4 证明：若 都是可微函数，且当 时， ，
则当 时，
证明：令 ，由拉格朗日中值定理得： ，（ 。
当 时，由 知 ，即
亦即 ，所以 ………………….（1）
又令 ，由拉格朗日中值定理得： ，（ 。
当 时，由 知 ，即
亦即 ，所以 ……………….（2）
综合（1）、（2）可得当 时，
④证明函数与其导数之间的关系
例5 若 在 上具有二阶导数，且 ，证明在 内至少存在一点 ，使
证明：由泰劳公式
因为
取 得 ……………….（1）
取 得 ……………….（2）
由（1）—（2）得：
令 { ， }
则 ，即
例6 设函数 在 内可微，且 ，则
证明：由于 ，故任给 ，存在 ，当 时有 。
当 时，由拉格朗日中值定理得：
故 。再取 使 ，则当 时，
+
故
⑤研究函数的性态
例7 证明可导函数在其导函数为正值的区间上为单调增函数
证明：设函数 在区间 上的导数 ， 为 内任意两点，且 ，由 在区间 上可导，由拉格朗日中值定理得：
由 的任意性得出， 在区间 上单调增加。
（3）导数在求函数极限中的应用
罗必达法则是以导数为工具来解决不定式极限的常用方法。应用罗必达法则求函数极限
应注意以下几点：
①应用罗必达法则求函数的极限，一定要注意法则的条件，缺一不可。
②只有 型和 型不定式的极限才能直接应用罗必达法则，罗必达法则可连续使用，但每一步都要检验定理的条件。
③对于 型不定式的极限，要通过适当的变形，转化为 型或 型不定式的极限后才能应用罗必达法则求解。
常见的转化方法有：
对于 型不定式的极限，可化为分式的形式： 或 ，但要注意，究竟选择哪一种，要具体问题具体分析，一般将相对简单的函数拿到分母中去且使分子、分母的函数分别求导后计算简便为原则。如果选择错了，可能越做越繁，甚至求不出极限。
对于 型不定式的极限，若有分母，则用通分的方法，化成 型或 型不定式；若无分母，一般应通过变形或变量代换使其含有分母，再用通分的方法化成 型或 型不定式。
对于 型的不定式的极限，一般应先取对数，化为 型不定式的极限，再用上述方法求解。但要注意，在求得 后，还要求出 的数值。
④罗必达法则是求不定式极限的一种有效的方法，但不是万能的方法。对某些 型或 型不定式的极限，虽然满足条件，但采用罗必达法则求解时不一定能求出极限，这时罗必达法则失效，应考虑采用别的方法来求。
（4）导数在研究函数性态中的应用
① 讨论函数的单调性
② 求函数的极值与最值
③ 讨论函数的凸凹性
④ 求函数的拐点
⑤ 求函数的渐近线
⑥ 描绘函数的图象。
六、积分的思想
1．积分思想的产生与发展
为了解决求物体运动的路程、变力作功以及由曲线围成的面积和由曲面围成的体积等问题，导致了积分的产生。
积分思想源远流长。古希腊德莫克利特的“数学原子论”、阿基米德的“穷竭法”、刘徽的“割圆术”都是积分思想的雏形，并且用这些方法求出了不少几何形体的面积和体积；然而这些古代方法都建立在特殊的技巧之上，不具有一般性，也不是以严密的理论为基础的。
随着数学科学的发展，借助于生产力空前发展的强大推动，出现了开普勒的“同维无穷小方法”、卡瓦列利的“不可分量法”、费马的“分割求和方法”，到17 世纪终于发生了由量变到质变的飞跃。牛顿与莱布尼兹揭示了微分与积分的内在联系--微积分基本定理，从而产生了威力无比的微积分，使数学从常量数学跨入变量数学，开创了数学发展的新纪元。
2．积分思想的理解
（1）定积分的定义
设 是定义在区间 上的有界函数，用点 将区间 任意分成 个子区间 （ ），这些子区间及其长度均记作 （ ）。在每个子区间 上任取一点 ，作 个乘积 的和式 ，
如果当最大的子区间的长度 时，和式 的极限存在，并且其极限值与 的分法及 的取法无关，则称 在区间 上可积，此极限值称为 在区间 上的定积分，记作 ，即 =
（2）定积分是一种新型的极限
定积分是一种特殊的极限，这种极限不同于数列的极限也不同于函数的极限。它是一种复杂的和式的极限，对于体现自变过程的变量 的每一个值，不仅区间 的分法有无穷多种，而且对于每一个分法，介点 也有无穷多种取法，因而相应的和式 一般有无穷多个值。但它仍然有着与数列极限、函数极限的本质上的相同之处，即当 无限变小时，相应的一切和式 与某一定数 的距离： 能够变得并保持任意的小。
（3）定义中对区间 无限细分的理解
在定积分的定义中，和式 的极限是指在积分区间 无限细分情形下的极限， 是指 （ ）中的最大值趋于0，正是表达了对积分区间 无限细分。当然，当积分区间 无限细分时，小区间的个数 一定无限增加，即 ；但反之，当小区间的个数 无限增加，即 时，并不能保证积分区间 无限细分。
（4）决定可积函数积分值的因素
函数 在区间 上的和式 的值，一般依赖于四个因素：函数 、区间 、区间 的分法、 的取法。
但当 在区间 上可积，即 存在时，则不依赖于区间 的分法与 的取法；因此只与函数 和区间 两个因素有关。故在可积的条件下，当我们用定义来求某函数在指定区间 上的定积分时，往往可以取一个特殊的分法（如 等分 ），取 为 内的特殊点（如左或右端点）。
因为定积分 只与函数 和区间 有关，故与积分变量的字母无关，因而 = = 。当 、 为常数时定积分 是一个常数。
（5）定积分可以作为定义函数的一种新的工具
我们知道连续函数 的变上限积分 是 的一个原函数，又知道某些函数的原函数并不是初等函数。如椭圆积分 就不是初等函数，这时我们就把这个积分本身，作为此函数的定义，以此为出发点来研究函数。有时，积分本身是我们熟悉的函数也可以这样做，这既开阔了思路，又增加了函数的一种等价定义，如我们可以把函数 作为对数函数 的定义等。
（6）定积分的存在性
在对积分思想的理解中，还有两个问题值得考虑：可积的函数应当满足什么条件？满足什么条件下的函数一定可积？即什么函数不可积？什么函数可积？
下面几个结论回答了这样的问题：
① 可积函数必有界，有界函数不一定可积，无界函数一定不可积。
② 区间 上的连续函数一定可积
③ 区间 上的有有限个间断点的有界函数一定可积
④ 区间 上的单调函数一定可积
3．积分思想中的辩证法
定积分作为和式的极限，是解决广泛的求总量问题的数学模型。为什么大多数求总量的问题，初等数学无法解决，而定积分能迎刃而解呢？这是因为求定积分的方法是辨证的方法，与“总量”一类问题本身所固有的辨证内容相吻合。恩格斯曾指出：“初等数学，即常数的数学，是在形式逻辑的范围内活动的，至少总的说来是这样；而变量数学，其中最重要的部分是微积分，本质上不外是辩证法在数学方面的运用。而辩证法突破了形式逻辑的狭隘界限，所以它包含着更广的世界观的萌芽。”
（1）初等数学不能解决的求总量的问题包含着初等数学不能解决的“变与不变”的矛盾。但在局部范围内“变与不变”这种相互矛盾的双方又可以统一，从而可以通过化整为零，在局部范围内用初等数学的方法求出部分量的近似值，再把这 个部分量的近似值用初等数学的方法加起来，便得到总量的近似值，我们必须对总量无限细分（即当 ，同时 ）时，总量的近似值才能转化为总量的精确值。可见求定积分的过程体现了整体与局部、总量与部分量、变与不变、近似与精确、量变与质变等矛盾的对立统一。
（2）求定积分的过程一般分为四步：第一步，将初等数学不能计算的总量 任意“分割”成 个部分量 ；第二步，在局部范围 上通过“以不变代变”，用初等数学中的乘法求出部分量 的近似值 ；第三步，用初等数学中的有限项加法求和式 ，得到总量 的近似值；第四步，通过“取极限”，将总量的近似值转化为总量的精确值，即
在求定积分的过程中，我们使用了超越初等数学的新运算，对和式 取极限，对和式取极限就是进行无限项相加，这是初等数学所不能胜任的。由于 ，同时 时，一方面，使和式 中的每一个积分元素 转化为总量 的微分 ， 相对于 趋于消失。这是对总量 的否定，这一次否定是在保持函数关系 不变的条件下进行的，否定的结果，得出了 。另一方面通过积分，使有限项相加转化为无限项相加，即求无穷多个微分之和，这又是对微分 的否定，这一次否定是在保持求和 的条件下进行的，否定的结果，得出了总量 ，即定积分 。可见求定积分的过程体现了否定之否定的思想。
由以上分析可以知道，定积分是微分的无限积累，或者说定积分是无限个无穷小量之和。符号 的意思是求和，莱布尼兹将“和”（summa）的头一个字母s拉长，并附之以上、下限 和 ，用于表示对微分 在区间 上的无限累加。
4．不定积分与定积分的比较
从定义的泛指而言，一个定义在 上的函数 的不定积分是其原函数的一般表达式，而 在 上的定积分是Riemann和 的极限。
不定积分与定积分是完全不同的两个概念，函数在所讨论区间上的Riemann和的极限的存在性不取决于该函数的不定积分的存在性，函数在所讨论区间上的不定积分的存在性也不取决于该函数的Riemann和的极限的存在性。
具体讨论如下：
（1）函数可积不一定该函数存在原函数
由微积分基本定理，我们知道，当 在 上可积时，对于任意的 ，函数 必在 上连续。
但函数连续只是可导的必要条件，而非充分条件。因此 未必可导，即 不一定是 的原函数。如 只有一个间断点，所以在任何区间上都可积，然而对于任意的 ， 在 点不可导。因此 在包含原点的任何区间上都没有原函数。
（2）函数有原函数但该函数不一定可积
例如，函数 ，易知 在闭区间 上各点都可导，且 ，即 在闭区间 上有原函数 。但由于 在闭区间 上有无界点 ，故 在 上不可积。
（3）不定积分与定积分可以相互转化
在一定的条件下，不定积分与定积分是有联系并且可以相互转化的。这里所说的条件，就是函数在所讨论的区间上连续。即：函数连续是该函数既有原函数又可积的充分条件
因为，若 在 上连续，则由微积分基本定理知，对于任意的 ， 为 的一个原函数；又由可积函数类知， 在 上是可积的。
（4）函数的连续性不是该函数存在原函数的必要条件
例如，函数 与
当 时有 ，即 在 上是 的原函数。
但由于
因此，当 时， 在 上是 的原函数； 当 时，函数 在 上不连续（ 为间断点），但当 时， 却仍有原函数。
5．定积分的应用
(1) 用微元法来建立所求量的积分表达式
在定积分的应用中，经常采用微元法来建立所求量的积分表达式。
如果某实际问题中的所求量 符合下列条件：① 是一个与变量 的变化区间 有关的量。② 对于区间 具有可加性，即如果把区间 分成许多部分区间，那么 是对应于各部分区间上的那些部分量 的和。③部分量 可以近似地等于 。
一般地，采用微元法写出 的积分表达式的步骤如下：
1）根据实际问题，选取一个变量，例如 ，作为积分变量，并确定它的积分区间
2）把区间 分成许多小区间，在具有代表性的小区间 上，求出相应的部分量 的近似值，如果 可以近似地表示成 的函数 与 的乘积，并且 与 仅相差一个比 高阶的无穷小量，就把 叫做量 的微元，记做 ，即 =
3）以所求量 的微元 作为被积表达式，在区间 上积分得 。这就是所求量 的积分表达式。
例 求由曲线 、直线 及 轴所围成的曲边梯形绕 轴旋转所得旋转体的体积
解：在 的变化范围 内任取相邻两点 和 ，
过这两点作 轴的垂面将旋转体截割出一个厚度为 的薄片，
那么以 为半径的圆作为底面、 作高的薄圆柱的
体积即为旋转体的体积微元 ，即 。
于是旋转体的体积为
（2）定积分的几何应用与物理应用
① 求平面图形的面积，②求已知截面面积的立体的体积，③求旋转体的体积，④求曲
线的弧长，⑤求旋转曲面的面积，⑥求变力所作的功等等。