行测数字推理学习技巧※※

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行测数字推理学习技巧
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行测数字推理学习技巧
一、    一些有趣的现象
你一定很想学习怎样把数字推理题做好，对不对？不过别着急，我们慢慢来。下面，请先回答第一题：
例1：
1，2，3，4，5，6，（ ）
括号里应该填个什么数字呢？显然是7，对吧。为什么呢？地球人都知道，自然数的数列么。
好吧，再请你回答第二题：
例2：
1，4，9，16，25，36，（ ）
你会说：“卧槽！当我是白痴么？这个答案显然是49，平方数列还用你来教”？
不，你当然不是白痴。但是，假设你的学历为小学2年级，只会加法和减法，对于乘除一无所知，就更别提什么平方、立方之类的幂运算了，这道题你该怎么做呢？
嗯，没别的办法，你只能看看这个平方数列是不是等差数列：
1      4      9      16      25      36    （ ？）
3      5      7       9       11     X
2      2       2       2      Y
显然Y = 2，故X    = 13。所以括号里应该是36 + 13 = 49 = 72。
这两种方法竟然都能得到同样的结果？
其实很好证明，设公差为1的某个等差数列第一项为A，则第二项为A+1，第三项为A+2…….，然后按平方公式展开，再进行二次等差推理，就知道，平方数列同样是等差数列。只不过，平方数列是二次等差数列，其二级公差是2。
那么，如果是公差为2的某个等差数列的平方呢？比如：
例3：
1，9，25，49，81，（ ？）
这道题你自己做一下，我可以告诉你结果，那就是公差为2的等差数列的平方数列，也是二级等差数列，其二级公差是8。
如果公差是3的某个等差数列的平方呢？自己列一个出来看看吧。我还是告诉你，它的二级公差是18。
我多嘴了，其实你设某等差数列首项为A，公差为N，就明白了，这个数列的平方数列是二级等差数列，其二级公差为：2×N2。
例4：
4，12，28，52，84，（ ？）
请不要急着往下看，先把这道题做出来再说。
你做出来了吗？你是怎么做出来的？
不要告诉我是二级等差哦？难道你真的只有小学2年级的水平？只会加减法？
这道题就有些让你郁闷了吧？当然，你要能一眼就看出来这其实就是我把‘例3’的数列每一项都加了个3，那我向你道歉，因为你确实有很高的数字天赋，不用听我啰嗦。
例5：
1，19，33，67，97，147，193，（ ？）
给大家讲个笑话。上面这道题是我自己出的，过了一个星期之后我再看这道题的时候，花了2分钟没做出来，最后不得已翻看以前的草稿才明白是怎么回事。现在，你来做。
你做出来了吗？做不出来没关系，我告诉你答案，答案是259。
为什么呢？方法有三种：
1、    按数列各项序号的奇偶性分成两组，即1，33，97，193和19，67，147，（ ？）可以看出，前面一个数列二级等差，后一个数列二级等差，其公差各自不同。
2、    两项相减得到一个新的数列：18，34，50，（X）。可知X = 66。所以答案是193加上66就等于259。
3、    直接做差来看看规律如何？其二级公差数列为：-4，20，-4，20，-4，20。
你会说，哇，好多规律哦！
千万别这么说，我会脸红的。
其实呢，你写出一个偶数数列来：2，4，6，8，10，12，14，16…..然后各项平方，再分别加减3，最后得到一个数列。看看，和我的这个数列是不是一样的？
也就是说，这道题最简单的方法应该是：22-3，42+3，62-3，82+3…….前面所谓的三种方法，都是我糊弄你们的！
这个笑话应该还比较好笑吧？给大家说这个笑话是想让大家明白一个事实：那些出题的专家们是多么仁慈啊！
真的，数字推理这种题目，想为难考生实在是太简单了。不要说那些专家们，我都行。看，我随便弄了一道题，就连自己做起来都费劲。你如果不相信，那就按照我这种思路，先弄个平方或者立方数列，然后随便加上或者减去一个等差或者等比数列，再把这个数列放几天，等忘记得差不多的时候去自己做一下。
为什么一个平方数列加减3的结果就弄出这么多规律来了呢？我只能说数字太奇妙，数字推理太深奥，实在不是我等凡夫俗子所能搞明白的。当然，这个也不是公务员考试范围，也许数学博士后的考题会这样出吧？
统计了一下字数，我已经写了1500字了。这不禁让我感叹一下我的啰嗦程度——实在不是一般人所能企及的啊！其实，这1500字的目的就一个，那就是：在考试中出现的平方数列及其变形，哪怕你看不出规律来，用等差的方法也基本能解决。
但是，请记住，你用等差的方法做出了一道题，不代表你就看出了这道题的规律。什么是看出这道题的规律了呢？就是你用最简单的数列能把这道题是怎么弄出来的推理出来，才算是你看出了这道题的规律。国考的数字推理，专家们真的没转太多的弯，都是很简单的数列变换一两次之后得出的题目。
例6：
2，12，30，56，90，（ ？）
我再强调一次，不要往下看，先把我的例题做出来再说。这又不是考试，用得着这么急？
你做出来了？答案是132吧？恭喜你，答对了！
呃，不好意思，我怎么想起王小丫了？好吧，是我的错。不过我想小声地问一句：你是怎么把这道题做出来的？不是二级等差吧？
这道题也是我自己编的，怎么编的呢？1×2，3×4，5×6，7×8，9×10，所以答案是11×12。
例7：
0，6，20，42，72，（ ？）
如果没记错的话，这应该是一道省考的数字推理真题。
很简单的，二级等差，公差是8。你现在看到‘二级等差’这几个字，是不是有点想吐？那么这道题的规律是啥？你看出来了么？
0×1，2×3，4×5，6×7，8×9，答案是10×11。
前面我说了，自然数列的平方数列是二级等差数列，公差为2对吧？
那么现在你该明白了，自然数列两两相乘，得到的数列也是二级等差数列。
我可以接着说，平方数列加上某个数得到一个新的数列，仍然是二级等差数列，公差为2.因为加上的这个数在第一次等差时就已经减掉了。由此推知，就算你加上一个等差数列，它仍然是二级等差。同样，如果是自然数列的乘积数列的加减变形，也是二级等差数列，公差为8。
类似的规律还有很多，你如果有兴趣，自己试试用1，2，3，4，5，6，7来组成一些数列，你会发现，如果你只进行了一次乘法运算（平方实质上就是一次乘法），那么新数列就是二级等差的数列。
到此，我们已经用二级等差的方法做出了不少的题目。其实当你做省考、国考的真题的时候，也会有这种感觉——好多题都是二级等差的。
很遗憾的告诉你，你被各种培训班以及辅导资料害得不浅，以至于形成了绝对错误的思维定势。各种形式的等差题目告诉你，等差是一种基本规律，要注意。
问题是：谁都知道等差是一种基本规律。你知道，我知道，命题专家更知道。不就是后项减前项么？顶多就是多减几次而已。你认为，命题专家会在国家公务员的考试题中测试小学二年级的知识？
例8：
-5，-4，3，22，59，120，（ ？）
答案是211。如果你没做出来，没关系。如果你做出来了，还是那句话，你是怎么做出来的？
你可千万别告诉我，等差，三次等差。
虽然我遇上这种题，估计也会等差、等差、再等差，直到最后得出结论:这个数列是个公差为6的三级等差数列。
这种题目的规律确实不是一眼能看出来的。规律么，既然一眼看不出来，那么两眼三眼也未必能看出来。那怎么办呢？老师说了，观察趋势，尝试等差......
题目是做出来了。由此看来，老师说的是真有道理，尝试么，这种方法不行，再尝试下一种方法。反正数字推理就那么些规律，慢慢看，总能看出来的。
我真的不想对这种方法发表意见。说它错吧，一点都没错；说它对吧，考试的时候你有这么多时间去思考一道题？
观察，先观察。观察什么？是趋势么？
那些所谓专家们害人的地方就在这里。简单的趋势，国考肯定不会考。复杂的趋势，那需要计算。计算，那需要时间。时间，参加过国考的同学们都明白时间代表什么。
前面说过，平方数列是二次等差数列，公差是2。
我估计有兴趣的同学已经开始在想，立方数列是什么了。具体过程我就不写了，太简单。大家自己试试就知道了。这里给结论：立方数列是三次等差数列，公差是6。
甚至可以再往远了说。自然数列0，1，2，3，4，5，6....的N次方数列是N次等差数列，公差为N的阶乘。
回到刚才的例题上来，这道题也是三次等差，公差也是6，这能不能让你想起些什么？对的，这就是立方数列0，1，8，27，64，125，216中的每一项都减去5得到的题目。
例9：
6，120，504，1320，2730，4896，（ ？）
如果你有兴趣，还是做一下这道题。当然，我确信国考不会考这么变态的题目。说他变态，因为计算量太大，而且凭肉眼是看不出规律来的（如果你的速算功底不深的话）。其实这道题真的变态么？
这仍然是一个三次等差数列。公差是162。是不是有点吓人？那这个数列到底是怎么来的呢？
自然数列1，2，3，4，5，6，7，8.....，每三项相乘，也就是说，1×2×3，4×5×6，7×8×9，10×11×12，13×14×15，16×17×18。
就这么简单。
不妨再回过头去看看例6和例7。甚至从头再看一遍，看到这里。
一个道理：自然数列的变形数列，如果只经过一次乘法，它是二级等差数列；如果经过两次乘法，它是三级等差数列。如果经过三次乘法呢？我们不需要知道了，不管它是不是四级等差数列，可以肯定的是，考试不会考这么恶心人的题（如果真的出现了，你就当我没说好了）。
现在，当你做出一道题的时候，你还敢说，这道题是等差么？
二、    不是等差是什么？
不是等差是什么？
是平方，是立方，是乘积。更可能的，是它们的变形，很简单的变形。
例10：
0，4，16，40，80，（ ？）
A ．160      B ．128       C ．136        D ．140
很稀奇吧？怎么到了这道题，我给了选项，弄的好像跟考试一样？
前面的题目没有选项，是因为都是我自己随便编的。那些题目都很简单，用不着答案。这道题么，是07年国考的真题，我直接复制过来给大家看看。
会做的人举手。保守估计80%都会。
不用等差的举手（用拆项的也算用等差，因为你最后还要得出一个等差数列）。我怀疑一个都没有。因为我翻了很多答案，上面都是这一句话：这是一个三级等差数列，公差是4。那可都是专家哦？还有专家告诉我们这道题要先除个4，这样做起来简单一些呢。
这个数列是怎么来的呢？我们等下再说。先看例11.
例11：
0，6，24，60，120，（ ？）
这应该也是一道真题。不知道哪个省的。因为我随便一搜，就看到QZZN里还有人问这道题。事实上，这道题我自己就编出来过，并没有借鉴什么考题。
你会做吗？是公差为6的三级等差吗？
很好，你说不是。你终于看出来了，这道题的规律是：N3 – N。
也就是：13 – 1，23 – 2，33 – 3，43 – 4，53 – 5…….
现在我们来看例10。三级等差数列，公差是4？我们前面不是说过，立方数列是三级等差数列，但是公差是6么？是不是很奇怪？那我们能不能让例10的公差也变成6呢？当然可以了。每一项都乘以1.5，公差不就可以是6了？
好吧，我们开始把例10的每一项都乘以1.5来看看。
我不在这里乘。你自己去乘。乘完了看看。没什么特殊的对不对？看起来还是那个模样。
和例11比较一下吧。你会有所收获的。
例12：
2 ,    12，  36，    80，  （  ）
A ．100      B ．125       C ．150        D ．175
还是07年的真题。你一眼看不出规律来，怎么办？等差，差到最后就剩一个6了。敢不敢肯定呢？试试嘛。按照立方数列为三级等差的规律来试，得到结果是选C。
你蒙对了。不过很多辅导书告诉我们，这道题的规律其实是这样的：2×12，3×22，4×32，5×42…..
哦，原来是这么来的啊！这是自然数列经过两次乘法（一次乘法和一次平方）得来的。怪不得呢，咱们之前也说过，两次乘法之后的数列就是三次等差么！
可是，一次乘法和一次平方得出的数列，为什么三次等差后的公差也是6呢？公差为6应该是立方数列才对啊？
如果你有这个疑问，那恭喜你，你的数字推理开始入门了。
我们把立方数列写出来和题目进行对比：1，8，27，64，
不难看出：1+1 = 2，8+4 = 12，27+9 = 36，64+16 = 80。
其实，这就是立方数列加上1，4，9，16得到的题目。1，4，9，16这四个数字摆在一起，应该足够引起你的重视了吧？
那么这道题的命题规律究竟是什么样子的呢？
就是这个样子的：13 + 12，23 + 22，33 + 32，43 + 42…..
有的同学会说了，辅导书上说的也没错啊？（N+1）× N2 本来就等于 N3 + N2，这两个规律根本就是一回事，还值得你在这里说这么半天？全是废话么！
不，这不全是废话。我之所以不怕丢人在这里说这些，是想告诉大家一个道理：命题专家们出这样的考题，就是考你的观察能力，不需要哪怕是比较简单的计算。我第一次做这道题时用了三次等差。第二次发现这是个偶数数列，直接排除B和D，然后根据数字发展的趋势直接就选了C。第三次做这道题时，我决定拆项，用平方数来和数列比较，得出了平方乘积的规律。最后一次做这道题，我发现用立方数列和题目比较，得出的规律是最自然的。也就是说，只要你看到第3项是36，和27接近；第四项是80，和64也不远的时候，你就明白了，这就是1，2，3，4，5的简单变化。
例13：
0 ，  9，  26，  65， 124，   （  ）
A ．165      B ．193       C ．217        D ．239
这道题还是07年的题目。你看到第5项是124了。你想到5的立方了么？再看9，26，65，它们和那些熟悉的立方数都是如此的接近。你敢直接选C么？真的，面对这么简单的题，你还需要那么多莫名其妙的规律？
例14：
0 ，   2，   10，    30，  （  ）
A ．68      B ．74       C ．60        D ．70
依然是07年的题目。我本来不愿意再把07年的题目拿出来说事儿的。但是一想，既然已经说了三道，那就干脆说完算了。你看到第4项是30。想到27了吗？27+3？这不是33 + 3么？
再看看10，符合这个规律不？
这四道题都是立方数列的变式，也就是说，都可以用等差来做。现在，你分别用等差和立方规律来做这四道题。自己算算时间差吧。起码是3分钟时间没了，对不？
现在宣布重要结论：拿到数列，先观察。先观察什么呢？
不是所谓的数字变化趋势。观察数字变化趋势能得到什么呢？无非就是该数列到底有没有等差或者等比的可能性。可是我已经说过，国考会考你小学2年级的知识么？考试时间这么紧张，命题者真的就这么不近人情，逼着你减了又减，减了还减？
显然不是的。可以这么说，等差等比数列基本不会再出现在国考当中。大家都会，还考什么？又不能考太难的，否则失去意义。所以，考的就是一些变异数列。其中，平方立方数列是重点。因此，拿到数列，要先观察数列中第N项的数字与N（或者N – 1）本身有没有联系（因为原始数列可能是1，2，3，4，5…也可能是0，1，2，3，4…..）。如果和N的立方接近，就用立方数列来比较；和平方数列接近，就用平方数列来比较。没有特别的联系，考虑N和某个数字的乘积来看看。
现在回过头去看看例10。我已经用例11说明了这道题是怎么设计出来的。但是，考试的时候指望我们能想到把数列的每一项乘以一个1.5，有些强人所难了。那怎么办呢？
观察数列本身：0，4，16，40，80，（）
第5项是80，和5的平方25以及5的立方125都相差甚远。第4项40也是这样。那么可不可以考虑用数字除以项数呢？各项分别除以1，2，3，4，5得到一个新的数列。
你发现了什么呢？那就是这个新的数列是个一级等差数列。
当然，这种规律确实不普遍。考试时出现这种类型的题目的可能性不大。而且，这种题目也确实可以用多级等差来解决，因此区分度也不高。但是，我希望通过这个思路使大家记住两件事情：
①、先观察。先把所谓的趋势忘掉，先观察数列中的数与其本身的项数之间有无联系。
②、别急着等差，尤其是不要多次等差。当然，如果你实在看不出规律、 需要进行试探性计算的时候，首先尝试下多级等差是个好主意。因为很多题目即使你看不出来，但是只要它确实是平方立方数列的变式，等差能解决大部分问题。但是，在平时训练的时候，要尽量做到不动笔计算。
以例15作为这一部分的结束。
例15：
1, 9, 35, 91, 189, (   )
A.301      B.321       C.341       D.361
09年的真题。这道题是怎么来的？
03 + 13，13 + 23，23 + 33，33 + 43，43 + 53……..
看看，同样的立方数列变形，这次，等差可就解决不了问题了吧？
回顾这些平方立方数列的变式，你会发现，原来国考已经把这些形式考的差不多了。你看，N3 – N考过了，然后考N3 + N2，再然后考N3 + (N + 1)3。如果命题专家们还想考这类数列的话，他们会怎么出题目呢？这个问题谁也不可能准确回答。然而问出这种问题，正是高效备考的关键所在。
三、    仅仅观察题目就够了吗？
例16：
14，  20，  54，  76， （ ）
A.104    B.116   C.126    D.144
08年的真题。这道题的规律绝对不是一眼能看出来的。如果不给答案的话，两眼三眼也难。秘密在那里？在答案里。
看到A、B、C也就罢了。看到D，知道是122，可是题目里就没有平方数，因此D不大可能是选项。既然不是选项，那专家们为什么把这个数字放在这里呢？难道这道题和平方有关？
带着这个疑惑来看选项。A是102 + 4，B是112 – 5，C是112 + 5。
好吧，后面的思维过程我就不说了。大家都该明白了。
一个简单的平方数列。如果不加伪装吧，是人都会；可是你要稍微伪装一下，就能难倒一大片人。数字推理，真的那么难么？确实，数字推理就是这么难。那怎么能考察考生的观察能力和推理能力，又不至于让这道题难于登天？
只能给点提示了。提示在那里？不可能在别的地方，只会在答案中。
一个重要的思维模式：当你一眼看不出规律的时候，别着急，千万别着急。看看答案中的数字都有哪些明显的特征。命题者说不定就在里面藏了个蛋糕。
例17：
153, 179, 227, 321, 533, (  )
A.789               B.919
C.1079              D.1229
09年的真题。我第一次碰到这道题，在思考了一分钟之后决定开始等差。。。差到最后两个数，24和72.然后就默认为这是个等比数列，蒙出了答案C。很LUCKY，这也再一次证实了等差实在是个好办法，尽管笨了点。但是如果有时间的话，笨点也不错对不对？
言归正传。这种题一看就晕。规律？规你妈个头还差不多。考试犯得着出这么难的题么？如果不给你选项，你思考10分钟？15分钟？能不能做出来还不好说。可是命题者偏偏就把这道题堂而皇之地放在考卷上，让无数人恶心。
为什么？因为命题者给了提示。
看答案。四个选项没别的相同之处，唯一的相似就是末位数都是9。为啥？为啥？难道这道题和末位数有关？再看数列的倒数第二项533，末位数是3。三三得九，这是小学一年级的知识。好吧，我们抱着这种莫须有的规律来看整个数列。三三得九，三九二十七，三七二十一，一三得三，最后还是三三得九。
这说明了什么？这个数列和三有关，涉及到三的乘法。
好吧，现在你该明白这个数列是怎么弄出来的了：
153×3 - 280 = 179
179×3 - 310 = 227
227×3 -360= 321
321×3 - 430 = 533
所以：
533×3 - 520 = 1079
你真的明白这道题是怎么弄出来了的么？其实不是的。感谢论坛ID为hhyzz的朋友，他提供的思路，才是命题者真正要考查的目标。
为了对这种思路进行解说，我们先来看一个数列：
2，4，8，16，32，64，（）
这个数列很简单，如果项数为N，那么该项的数字就是2N。也即是：21，22，23，24...
这是个什么数列呢？等比数列对吧？把这个数列等差一下看看是什么结果？2，4，8，16..和没做减法之前差不多，就是最后少了个64对吧？好吧，你该知道了，等比数列等差后得到的数列依然是等比数列，公比不变。
例题我们也等差过，差到最后是不是一个等比数列？你该问了，这道题本身不是等比数列啊，为啥差到最后是等比数列？
有人会回答说：你都说了啊，这个数列是前项乘以三，再减去另外一个等差数列得到的结果，当然差到最后是等比数列啦。
没错，确实是这样的。如果你按照这种规律构建一个数列，差到最后就是等比数列。而且公比就是你乘的那个数字。
但是，你走弯路了。或者说，这种规律不是自然存在的。
什么是自然存在的规律？那就是等比数列加上一个等差数列，而不是乘了再减，减了再乘这种看似复杂，实际一无是处的做法。
把例题变形一下，你就一目了然：
150+3，170+9，200+27，240+81，290+243...
现在我们知道了命题者的提示究竟是什么：这不仅仅是和3的乘法有关，这根本就是3的幂次数列的变形。这里再次印证了一个看法：国考数列，都是简单数列的变形。
例18：
67， 54， 46， 35， 29，（  ）
A．13    B.15   C.18    D.20
08年的真题。按照之前的思维模式，先看数列中的数字有没有可能是平方立方数的变形。67和8有关，35和6有关。可是67和35之间隔了两个数，这就不对了。
再看答案？都是一幅‘我正确’的嘴脸。
等差？出来个莫名其妙的新数列。等比？显然不可能。
难道是传说中的“一个数字减去自身的个位数和十位数”？
67减13等于54。我们好像找到了方向？可是马上就来了当头一棒：54减9等于45。难道是减完还要加1？46减10等于36，又要减个1；35减8等于27，还要加个2。
彻底晕了。
遇到这种情况怎么办？先放下这道题，看别的题目去。因为实在没思路了啊。剩下的可能就是最最复杂的：数列的前两项通过一定的运算规律得到第三项。
10分钟后再来看这道题。没办法了，把数列的第一项和第二项加起来看看。67+54 = 121。121和46之间难道有什么关系吗？没有啊。这可怎么办？
等等！121！121这个数字还没唤起你的警觉吗？
把54和46加一下？然后你会忍不住继续的。
最后，答案出现了。
这个例题是不是有点脱离了我这一小节的主题？因为我这一小节的主题就是让大家观察答案啊。那我为什么把这道题放在这里？
刚才我详细列出了我在第一次做这道题时的思维方式。算不算NICE？个人还是满自得的。可是第二次做这道题时，我有了新的感受：
数列前5项分别是奇数，偶数，偶数，奇数，奇数。这代表了什么？两项之和分别是奇数，偶数，奇数，偶数。所以第5项和答案的和应该是奇数。所以答案应该是偶数。排除答案A和B。只剩C和D。这个时候再看20和18两个数字。
18就算了。20加29等于49，这已经足够引起我的注意了。
特别提示：奇偶规律能够帮你有效地排除错误的答案。4个里挑一个有难度，2个里面挑一个呢？就算猜，都能有50%的正确率啊！
数字就是这么奇怪。如果遵循某种运算规律来排列数字的话，这些数字的奇偶性通常也具备规律性...
到了这里，大家应该能明白我为什么要强调先看答案了。如果通过奇偶的规律能够排除掉一个到两个选项的话，看看答案应该能帮助你更迅速的寻找到规律。
我们假设把数字推理题变换一种考试方法：给出你括号里的数字，要求你写出数列的排列规律。这种方法会不会相对来说简单一些？看着答案找规律，总比摸索规律再去对比答案要简单很多吧？
所以，如果你能先排除掉两个答案、再通过假设法去寻找规律，比起漫无目的地猜测和验证，一定会有效的多。
如果你看着答案都不知道规律，那我送你四个字:好好练习！
四、    那些少的可怜的提示啊！
例19：
-2，-8，0，64，（   ）。
A.–64      B.128     C.156     D.250
06年国考中，这道题是难度最大的一道了。当然，现在看起来也很一般。看到8和64，你如果联想不到这道题和平方或者立方数列有关，那就算你白混了。
-2×13，-1×23，0×33，1×43……
你要说了，这道题命题者可真的是没给什么提示。如果一定要说有的话，那就是题目中间的那个0还勉强能算。
真的是这样的么？请问，一般的数字推理题，给出的数字都是5个或者6个。为什么这个只给了4个？难道是命题者随心所欲么？
前面说过什么？4次乘法得到的数列是4次等差数列。这个数列也一样。如果你多给几个数字，你看看能不能用等差把这道题做出来？或者你把这道题换成这样：
-2，-4，0，16，（ ）。
我没变别的。就是把立方换成了平方。难度就降了一大截。为什么呢？这样就可以用等差来做了。你能不能看出规律，影响不大。
现在明白命题者为什么只给了4个数字了吧？因为给你5个数字或者更多，你看不出来也能减出来，也能蒙出来。
提示：看到题目里数字比较多的，自然要考虑分组数列的可能；看到题目里数字比较少但变化却比较剧烈的，你尽管向立方数列或者积数列靠拢。有接近立方数的，先考虑立方数列；没有接近立方数的，向积数列靠拢。
什么是积数列？看看例20。
例20：
3，7，16，107，（   ）。
A． 1707    B． 1704    C． 1086    D． 1072
还是06年的题目。4个数字。看答案就知道一定是和乘法有关的对不？3和7乘一下，再与16做比较。很简单对吧？
你不妨这么认为：只有4个数字的题目，就干脆不要考虑等差的可能性。为啥？就算命题者考你等差，也不会是一级等差对不对？如果是二级或者三级等差，4个数字是不是太少了些？题目规律是不是太勉强了些？
请你再回过头去看看例16。你可以试着按照它的规律多给几个数字，看看这道题能不能用等差做出来？
和立方有关的数列，就少给几个数字，这样避免你用等差的方法误打误撞，是命题者常用的手段。然而要限制你用等差，就必然造成这样的情况：立方数列只给四个数字。
凡事都有利有弊，出题也是这样。命题者越是不愿意多给考生变化的余地，他自身的余地也就越小。大道至简，却总留下蛛丝马迹让我等碌碌众生为之倾倒。康德的那句名言，于我心有戚戚焉！
什么是数字推理？给你一个数列，要你观察它的规律，并且根据规律推出之后的一个数字。规律藏在哪里呢？当你从数字本身的排列看不出来的时候，就找找别的地方吧！
五、    规律是啥玩意？
假传万卷书，真传一句话。
千万别误解我的意思，我不是在说我自己写的东西就是真传。
你看，我啰嗦了这么长时间，才说了这么一点东西。如果按照定义来对比，我写的心得绝对属于假传。你看了无动于衷也好，心潮澎湃也罢，其实到头来都是一场空。为啥？纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行。
什么是真传？一句话就能解决所有人的问题？这明显不符合逻辑，然而这又是真理。为什么呢？因为人和人是不同的，所以，具体到每个人身上，所谓的真传也是不一样的。这个所谓的真传，其实就是最为适合你自己的思维模式。
从来就没有什么救世主，也没有神仙皇帝。
你是相信命题者，还是相信辅导班？你信春哥还是信曾哥？
你要相信你自己。真传谁都不可能直接告诉你，就算我是你肚子里的蛔虫，明白你所思所想的一切，也不可能告诉你。因为说出来的，那就不是真的。真的东西，永远只能由你自己领悟。
所以，规律是什么？数字推理的规律千变万化，唯独你自己的思维模式是一定的。与其去寻找那些变化无穷的规律，不如回到自身，想一想：我的思维模式是不是有什么问题？
例21：
28，22，18，16，12，10，（ ）
A．4    B. 6    C. 8     D. 9
这个不是真题，我自己编了四个答案。
你会做么？正确答案是B。
规律是啥？两项相减得到的数列是6，4，2，4，2。你敢再减个4得到正确答案么？
这个呢，其实就是质数数列的倒序再减了个1得到的数列。如果你按做差的方法，那你还是蒙对了。
例22：
5，8，12，18，24，（ ）
A. 28      B. 29      C. 30     D. 31
还是我自己编的题。答案是C。
两项相减，得到的数列是3，4，6，6。你敢再加个6得到正确答案么？
这个呢，其实就是质数数列2，3，5，7，11...两项相加得到的数列。你敢蒙的话，就能蒙对。
这两道题是不是都有点恶心人？你看第一题，为啥相减得到的数列是6，4，2，4，2，为啥不是6，4，2，0，也不是6，4，2，4/5，更不是6，4，2，2，0，还不是6，4，2，1？第二题也是，为啥相减得到的数列是3，4，6，6，为啥不是3，4，6，9，也不是3，4，6，10，更不是3，4，6，8？
总而言之，为啥他妈的就不是我们熟悉的那些规律呢？
如果你有这样的抱怨，那一点都不奇怪。但是，请你接着抱怨一下：为啥不是你熟悉的规律，你就做不出这道题了呢？
你该说了，一时半会儿谁能想到质数数列上去啊？人家总要先看看是不是等差，然后再看看是不是和差积商数列。。。
不能说你错，只能说，你的思维模式有缺陷。
质数数列么，2，3，5，7，11...你当然是知道的。可是为什么你想不到呢？
我们来看质数、合数的一些规律：
1、    除了2之外，所有的质数都是奇数。
2、    最多连续5个自然数是合数。
这能说明什么呢？我一说，你都知道了。
让我来告诉你吧：这说明了，除了2之外，两个不同的质数（前提是挨在一起的）相减，得到的差只能有三种情况：2，4和6。
还能得到什么规律？
两个相邻质数的和组成的新数列A，除了第一项是奇数（其实就是5）之外，别的都为偶数；数列A相邻项的差，第一个是奇数（其实就是3），别的都是偶数，偶数的最小值是4，最大值是12（这个最大值按照理论来说是12，但是我验证了50以内的质数，得到的最大值是10，因此，大家不妨认为这个最大值就是10。50之后的质数确实有12的可能性存在。比如：137，139，149，151，157）
两个相邻质数的差组成的新数列B有什么规律么？前面说了。首项是1，然后就是三种情况：2、4、6。
现在，用数列B的规律来看例21，用数列A的规律来看例22.
你该明白我的意思了：你为什么想不到有的规律？因为你对这些规律认识不深刻。
例23：
6，35，143，323，（ ）
A. 645   B. 659    C. 667     D. 673
请大家注意这道题，虽然它是我杜撰而来，但我丝毫不怀疑它在考试中出现的可能性。常规的方法是解不出这道题的，答案我也精心设计过，没有泄露半点天机。
你能一眼看出规律么？你能把数字6拆成2×3，把数字35拆成5×7么？
好吧，质数数列相邻两项的乘积组成的新数列。而且6和35这两个数字极具迷惑性，很容易把你往乘积或者平方数列上去引导。
什么才是正确的思维方式？
两个相邻质数的积组成的新数列C，除了第一项是偶数之外（其实就是6），别的都是奇数。
我实在是不想再多说了，说多了都是口水。考试总共就只考这么几种规律，你不要着急去练习，先把这些规律本身引出的数列具有什么特征研究清楚了再说。练习本身是没有坏处的，问题在于那些良莠不齐的练习题，唉，不能说不如不做，也不能说做了白做，更不能说鼓励去做。说什么好呢？
六、    哪几种数列？
在上一部分的结尾，我大言不惭地说：“考试总共就考这么几种规律”。到底是那几种呢？或者说，有哪些比较简单的构成数列的方法，是考试中经常考到的？
这个问题呢，辅导班总结过，考试牛人总结过，甚至你自己也总结过。但是请相信我，如果你没有经历我前面几个部分的思考和总结，而是单纯地总结这些类型，真的用处不大。考试时间有限啊，你还打算对着考题进行一一排除，知道寻找到它的规律为止？这种思维方式是学习和研究的思维方式，不是考试的思维方式。
数列可分为六种：①简单数列及其变形；②多级数列；③分组数列；④分数数列；⑤幂运算数列；⑥递推数列。
Ⅰ、简单数列：
这个就不用多说了吧？需要注意的就是质数数列和合数数列。其中合数数列我觉得不太可能出现，毕竟把62，63，64，65，66这5个数字放到一起，后面再接个68，给人的感觉就是怪怪的。当然，他要考的话我们很欢迎——合数数列太好辨别了：你看到几个连续自然数，就直接往合数数列上想，基本没错。质数数列么，前面我说过了。虽然说的不全，但是好歹加法减法乘法如何构成比较合适的考题，我都提供了基本的思路和认识方法。至于除法么，好吧，我还是给大家两个题目看看：
例24：
23 ，35 ，57 ，711 ，（ ）
这道题是小儿科，对不对？
例25：
15 ，14 ，16 ，29 ，（ ）
A. 18      B. 310      C. 112     D. 15
我前面告诉你了这道题是和质数有关的，因此你仔细看看还是能看出来：分子是相邻的质数相减，分母是相邻的质数相加。如果考试场上碰到，估计不少人要蒙掉。
简单数列是说数列的构成方式简单，或者说里面的规律比较简单。但是，简单不等于常见，因此，简单往往不等于你能很轻易发现这些规律。
例26：
3，1，4，1，5，（ ）
A. 6      B. 7      C. 8      D. 9
这道题我忘记了在那里看到的，也不知道是不是哪个省的真题。放到这里主要是想调剂一下大伙的心情，如果你会做的话，不妨一笑而过；如果你真的不会，那就想想咱们熟悉的圆周率吧！
例27：
5，6，1，7，8，5，3，8，1，（ ）
A. 2      B. 4       C. 7       D. 9
你分组了吗？是两个一组还是三个一组？
如果你没看出来，就看看下面的例题吧。
例28：
5，6，11，17，28，45，73，118，191，（ ）
简单吗？简单！常见吗？不常见！要命的是，这种简单却不常见的规律实在是太多了。你自己生造都能造出好多来。例27是个位数的变化而已。你要换成十位数的变化，那就能把所有的人都恶心一遍。
幸运的是，国考这种王道，还没怎么出现过这种旁门左道的题目。
Ⅱ、多级数列：
什么是多级数列？多级等差或多级等比，再或二者的混合数列呗！
例29：
5,  12,  21,  34,  53,  80,  (   )
A.121      B.115     C.119      D.117
09年的真题。看见6个数，而且答案全是奇数，因此7个数的排列为：奇数，偶数，奇数，偶数，奇数，偶数，奇数...要怎么样的运算才能有这种规律呢？
我们都知道自然数的排列就是奇数，偶数，奇数，偶数...这么来的，那么，自然数列通过N次等差之后，一定也是这样梅花间竹的排列方式。
能不能由此再推广一下？
给你一个数，比如说2。让你造一个公差为2的等差数列A。你一定会的。所以数列A就是{2，4，6，8...}。
现在再任意给你一个数字，比方说7，让你造一个二级公差为2的数列B。怎么造呢？前面咱们造了一个等差数列了，那我用7加上数列A不就可以了？好的，你也造出来了。数列B就是{7，9，13，19，27...}
继续给你一个数字5，让你造一个三级公差为2的数列C。同理我们就可以得到例29的题目了。
你看到没有？多级等差数列的形成过程就是这样的。所以：不管一个数列是几级等差数列，它的奇偶性都是固定的：要么全奇，要么全偶，要么一奇一偶，要么两奇两偶（开头的一个不算，因为这个数是随机的）...反正如果一个数列如果既有奇数又有偶数的话，那么奇数和偶数顺序排列，数目相当。前面我们一再强调，立方数列是三级等差数列，其三级公差为6.我们把例题变一下，每一项都乘3，这样它的三级公差会变成6。得到数列D：{15，36，63，102，159，240}。这个数列和立方数列有没有什么关系？有的。
数列D的变形：{13+14，23+28，33+36，43+38，53+34，63+24}，其中数列{14，28，36，38，34，24}是一个二级等差数列，二级公差为-6。
这是什么意思？把数列变来变去干嘛？没啥用处么！
在第二部分，我详细说明了这些规律，是为了让大家明白：平方数列或者立方数列，往往可以用等差解决；在这里，我又一次把这个规律弄出来展览，是为了让大家明白：如果你愿意，一个二级等差数列，你总能把它和平方数列扯上关系；一个三级等差数列，你总能把它和立方数列扯上关系。
所以啊，平方数列和立方数列以及它们的简单变形，往往也有其固定的奇偶规律。回过头去看看例10到例15，也就是07年的国考真题，估计你又能有更新的认识。平方立方数列的奇偶性也是有其固定规律的吧？
不管你有多么深的认识，我还是想说说我自己的结论：数列的奇偶性排列呈现明显规律（就是全奇数或者全偶数，或者一样一个的排列的时候）应该考虑做差来看看。同理，你想做差之前，务必先看看奇偶性的排列。如果不是，就别做差了。但是这里有个前提，就是你先肯定这个数列和平方立方数列没什么直接关系。不然，做差就是浪费时间了。你该问了，怎么能肯定这个数列和平方立方数列没多大关系呢？说穿了很简单，我们还是放到讲幂运算数列的时候说吧。不然，到时候我没话说了多丢人啊！
例30：
7,   7,   9,   17,   43,   (   )
A.117      B.119      C.121      D.123
都是奇数哦，而且有两个7，还有个9，可以排除质数数列变形的可能。那还不赶紧减一下看看？两两做差得到数列：0，2，8，26..再次做差得到数列：2,6,18..你该明白了。09年的真题，也就是这个难度了。
不过，再回头看看例15和例17这两道同样是09年的真题，你就知道，有时候奇偶性并不适合做差。不是做差是什么？不是做差，就是乘法（例17），不然就是（例15）需要你拆项（把这个数字拆成一奇一偶的和，或者一奇一偶的积）。
Ⅲ、分组数列：
这个没啥说的。就是把一个数列分成两个数列甚至更多来看。个人认为这种数列在国家考试中再次出现的几率很小。因为简单的大家都明白，如果命题者想考复杂的，还要把两个复杂的规律放到一起考，那他是不是有点太变态了？
Ⅳ、分数数列：
例31：
0,   ,   ,   ,   ,  (   )
A.       B.        C.       D.
分数数列就是送分题。为啥？分数数列实际上是考你通分的，和规律关系不大。硬说有关系的话，那也就是些简单至极的规律。
这道题同样是09年的真题（到现在，我好像已经把07、08、09三年的国考真题都说过一遍了），你先看看答案，分母不是12就是13.再看题目中的分母，已经有了6和8，再往后通分，至少也是10和12，因此选项的分母大于或等于14。先把C和D排除了再说（如果你说，选项C和D中的13有可能是某个分数约分的结果。那我问你，13和14的最小公倍数是多少？答案的分母可能那么大么？）再看A和B，显然也小于14，那怎么办呢？通分啊！乘以2不就是24了。24是完全可能的吧？
先开个玩笑：你看题目中的5个分数，分子都小于或者等于分母的一半。你敢直接选A么？
这道题你把第一个12 化成612 ，第二个12 化成1020 之后，就很容易了。不过，通分的过程没这么美妙，你要试好几次才行。
但不管怎么说，这还是送分题。通分么，需要多长时间？何况，你先排除C和D。然后根据A和B的分母12分别试试24和36的可能性，也花不了你多少时间的。
也有的分数题不是考你通分的。那就是幂运算。例题很多，大家可以自己去找，但是我个人觉得这种题没有必要练习。你明白规律了，到考场上遇到这种题，就有固定的思路。有了固定的思路，这种题就是送给你分的。
Ⅴ、幂运算数列：
我们常说的幂运算，其实就是平方和立方数列。如果是负的幂，一般我们都把这种数列归为分数数列里，而且负幂考的通常都简单。
不过，这几年把平方和立方数列考的差不多了。国考再加上省考，我很怀疑还有什么题型是没考到的。
说归说，作为考察力度最大的一种数列，认真准备是必须的。怎么认真准备呢？多练习？练习什么呢？数字敏感性？
给你一个数字：120，你能想到什么？是112-1还是53-5，或者是6×52？
数字敏感性当然需要，你如果有足够的数字敏感度，数字推理就是哭着喊着也要一定送给你分数的题目了。但是数字敏感性稍微差一点怎么办呢？用大量的练习来弥补。
也就是说，看到6，要能想到2×3（这是质数），要能想到22+2或者32-3（这是平方变形），要能想到13+5或者23-2（这是立方变形）。
我从来不否认数字敏感性是数字推理题的王道。但是王道不是人人都能学的。你也许时间不够，也许天赋不足...前面在讲简单数列的时候我也说了，想要看一个数列和平方或者立方数列有没有直接关系的方法很简单。
如果你为不能一眼看出幂运算数列而烦恼的话，我告诉你一个笨办法：在做数字推理之前，先把以下两个数列整整齐齐写到纸上：
0，1，4，9，16，25，36...
0，1，8，27，64，125，216...
你看一个数列第一项是0，就用0开头去比。第一项是1，就用1开头去比。都不行的话，稍微考虑一下隔项、倒序的可能。如果开头不是0和1，而是3或者7怎么办？兄弟，等差去啊！
不怕货见货，就怕货比货。没有比较就没有鉴别。咱们把这些真题也用于数字推理中，一样有效。现在，你按照我说的办法去做你能找到的所有的关于幂运算的题目。
Ⅵ、递推数列：
其实多级数列和递推数列是有些关系的。要把它们之间的联系和区别搞清楚。
联系是什么呢？就是这两种数列都有特定的四则运算规律。包括简单的和复杂的。
区别是什么呢？就是多级数列是用一个数字推导出来的，而递推数列是用两个或者更多的数字推导出来的。
比如，设有数列A，A(1)=3。有以下规则：A(n+1)= A(n)×3 – 3。你可以得到这样一个数列：3，6，15，42，123...你把这列各项相减得到一个新数列，这个新的数列一定是个公比为3的等比数列。这种数列我们叫它多级数列。
再设有数列B，B(1)=3，B(2)=5。有以下规则：B(n+2) = B(n+1)×2 + B(n)。你可以得到这样一个数列：3，5，13，31，75...这种数列你用等差或者等比是没办法做的。这就是递推数列。
关于递推数列，我很想找到一个行之有效的办法，但是努力了很久，还是不行。唯一觉得还算有可行性的是隔项运算。比如数列B，你一看，全是奇数，等差吧，得到2，8，28，44，再等差得到6，20，24，没办法了。这个时候隔项相减就容易点。但是这是有前提的，那就是这个递推数列是两项运算，并且运算的最后一步是加法。如果是减法，你就要隔项相加...依次类推。而且递推的规律也实在太多，下面列举一些常见的：
加法：两项相加得到第三项；三项相加得到第四项；两项相加构成一个新数列（可能是多级数列或者幂运算数列）；三项相加构成一个新数列...
减法：同加法。
乘法：两项相乘得到第三项；甚至更复杂一些，我都不敢想。
除法：同乘法。
混合：这就更多了。比如A(n+2)=[A(n+1)+A(n)]×2，再比如A(n+2)=[A(n+1)+A(n)]/3。反正你能想到的四则运算方法（嫌不够变态的可以加上平方立方什么的）都可以用上，然后就可以随便造出一万道让人抓头皮的数字推理题。
碰上这种题，那就没办法。试吧。这种题与其说是考你数字敏感性，不如说是考你心算速度的快慢。因为趋势这种东西很明显，增加不快的就是加减，快的就是乘除。然后你就快速运算，排除各种可能，直到摸索出规律为止。
国考好像没怎么碰到过这种题。但是我很害怕它会出现。因为别的数列真的考得差不多了。09年的最后一道题就已经有了递推数列的影子，尽管它仍然算不上纯正的递推数列。命题者也很为难，考过的不能再考，难度不能降低。那他们还能出什么题目呢？
好吧，数字推理说到这里，就没什么可说的了。还有很多种形式的规律我没有列举到，但这不代表你应该不知道。关于规律的总结，很多人比我做的好，去借鉴他们的成果去吧。我说了很多，基本上，就是告诉你，仔细观察题目（包括数字的个数和其奇偶性），把题目和平方立方数列进行对比，观察答案，看看命题者有没有可能给你一些提示。都不行的话呢，就只能加加减减了或者乘乘除除了。还是不行？你该想想那些偏门的规律了。
你该做什么？练习。三天不练手生。再高的水平，也摆脱不了这种规律。
七、    命题趋势预测
如果说前面所说的或多或少还有点道理，这里就是纯属臆测了。基本上，我是写给自己看的。
1、    幂运算：估计还是有一道题。
N3-N2：0，0，4，18，48，100，180，（ 343-49 = 294 ）       三级等差，6
(N+1)3 – (N)3: 1,7,19,37,61,91,(343-216 = 127)           二级等差，6
N(N+1)2: 0，4，18，48，100，180，（6×49 = 294）          和第一个一样？
N3+N4： 2，24，108，320，750，（1512）                     四级等差，24
2、 分数数列：估计有一道，难度应该和09年的相同。
3、 递推数列：估计有一道，可能是A(n+2) = A(n+1)×3 – A(n)。
5，6，13，33，86，（）
4、 多级数列：闹不好是三次等差之后的数列为等比，且公比不是2，有可能是3.
试着弄一个出来：
公比为3的等比数列：1，3，9，27，81。
给一个数字6，得到中间数列B为6，7，10，19，46，108。
再给数字为10，得到中间数列A为：10，16，23，33，52，98，206。
最后给个数字7，得到最终数列：7，17，33，56，89，141，239，445。
5、如果命题者真的按照我这种思路来的话，那剩下一道题一定是送分题。
发布于：
2009-10-30