神马文学网200以内整数平方的速算方法
来源：百度文库 编辑：神马文学网 时间：2024/05/23 12:09:09
四川省邻水县九龙中学 任贤德
数学教育的目的之一是培养和提高学生的运算能力,而在数学运算中常遇到数的平方的计算, 如何快速地计算数字平方,我为此进行了有益的探究和尝试.。本文将介绍200以内整数平方的速算方法,这是我的一些思考和体会，仅供参考。不妥之处,望同仁斧正。
Ⅰ.1-25以内整数平方的速算
1⑴1-10的平方就不用多说了.
⑵11-19的平方的速算.
定理1:设有11-19中某数,则此数的平方等于此数与它个位数字之和的10倍,再加上此数个位数字的平方.
例1. ① 172＝（17＋7）×10＋72
＝240＋49
＝289
② 192＝（19＋9）×10＋92
＝280＋81
＝361
⑶21-29平方的速算.
定理2:设有21-29中某数,则此数的平方等于此数与它个位数字之和的2倍乘以10,再加上此数个位数字的平方.
例2. ①282＝（28＋8）×2×10＋82
＝720＋64
＝784
②232＝（23＋3）×2×10＋32
＝520＋9
＝529
1-25以内整数的平方要熟记,它们是本文后面其它数字平方计算的基础,只要熟记25以内整数的平方值，我们就能快速地计算由26-200以内的整数的平方值
附11-25的平方值:
112＝121 122＝144 132＝169 142＝196 152＝225 162＝256 172＝289 182＝324 192＝361 202＝400 212＝441 222＝484 232＝529 242＝576 252＝625
Ⅱ.26-75以内整数平方的速算
定义1.若两数之和为50，则称此二数互余，其中一数为另一数的余数。
如17＋23＝50，则27与23互余，27的余数是23（或23的余数是27）。
定理3：设有26—75的某数，则此数的平方等于此数减去25再乘以100，并将所得结果加上此数余数的平方。
证：依题意：
a2＝[50－(50－a) 2]
＝502－2×50×(50－a)＋(50－a) 2
＝2500－100×(50－a)＋(50－a) 2
＝ (a－25)×100＋(50－a) 2
故命题成立。
说明：ⅰ）在计算26—50的平方时，直接使用公式：
a2＝(a－25)×100＋(50－a) 2 ⑴
ⅱ) 在计算26—50的平方时，因a＞50,50－a＜0,为避免负数计算，此公式变换为： a2＝(a－25)×100＋(a－50) 2 ⑵
例3.求以下整数的平方
1）382 2）472 3）582 4）692
解：1）382＝(38－25)×100＋(50－38) 2
＝1300＋122
＝1300＋144
＝1444
2）472＝(47－25)×100＋(50－47) 2
＝2200＋32
＝2200＋9
＝2209
3）582＝(58－25)×100＋(58－50) 2
＝3300＋82
＝3300＋64
＝3364
4）692＝(69－25)×100＋(69－50) 2
＝4400＋192
＝4400＋361
＝4761
Ⅲ.76—125以内的数的平方的速算
定义2. 若两数之和为100，则称此二数互补，其中一数为另一数的补数。
如：94＋6＝100，则94与6互余，94的补数是6（或6的补数是94）。
定理4：设有76--125某数，则此数的平方等于此数减去其补数（或将此数的2倍减去100）再乘以100，并将所得结果加上其补数的平方。
证：依题意：
a2＝[100－(100－a) 2]
＝1002－2×100×(100－a)＋(100－a) 2
＝(2a－100)×100＋(100－a) 2
＝[a－(100－a)]×100＋(100－a) 2
故命题得证。
说明：ⅰ）在计算76—100的平方时，直接使用公式：
a2＝[a－(100－a)]×100＋(100－a) 2 ⑴
ⅱ) 在计算101—125的平方时，由于a＞100,100－a＜0,为避免负数计算，此公式变换为：
a2＝[a＋(a－100)]×100＋(a－100) 2 ⑵
例4.求以下整数的平方
1）892 2）972 3）1082 4）1242
解：1）892＝[89－(100－89)]×100＋(100－89) 2
＝（89－11）×100＋112
＝7800＋121＝7921
2）972＝[97－(100－97)]×100＋(100－97) 2
＝（97－3）×100＋32
＝9400＋9
＝9409
3）1082＝[108＋(108－100)]×100＋(108－100) 2
＝（108＋8）×100＋82
＝11600＋64
＝11664
4）1242＝[124＋(124－100)]×100＋(124－100) 2
＝（124＋24）×100＋242
＝14800＋576
＝15376
Ⅳ.126—200以内整数的平方的速算
定理5：设有126—200中某数，则此数的平方等于此数加上其百位数字之后的两位整数乘以100，再与两位整数的平方之和。
证：依题意：
a2＝[100＋(a－100)] 2
＝1002＋2×100×(a－100)＋(a－100) 2
＝[100＋2×(a－100)]×100＋(a－100) 2
＝[a＋(a－100)]×100＋(a－100) 2
故命题成立。
由于126≤a≤200，且a为整数，26≤a－100≤100，所以（a－100）2的计算实际上就化解为求26至100的平方的计算，而26—100的平方我们已经会计算了。
例5.求以下整数的平方
1）1572 2）1732 3）1962
解：1）1572＝（157＋57）×100＋572
＝21400＋3249
＝24649
2）1732＝（173＋73）×100＋732
＝24600＋5329
＝29929
3）1962＝（196＋96）×100＋962
＝29200＋9216
＝38416
亲爱的朋友，你能运用上面的定理（或者公式）迅速地求出下列整数的平方吗？
392，472，542，722，882，962，1172，1232，1482，1872，1972
数学教育的目的之一是培养和提高学生的运算能力,而在数学运算中常遇到数的平方的计算, 如何快速地计算数字平方,我为此进行了有益的探究和尝试.。本文将介绍200以内整数平方的速算方法,这是我的一些思考和体会，仅供参考。不妥之处,望同仁斧正。
Ⅰ.1-25以内整数平方的速算
1⑴1-10的平方就不用多说了.
⑵11-19的平方的速算.
定理1:设有11-19中某数,则此数的平方等于此数与它个位数字之和的10倍,再加上此数个位数字的平方.
例1. ① 172＝（17＋7）×10＋72
＝240＋49
＝289
② 192＝（19＋9）×10＋92
＝280＋81
＝361
⑶21-29平方的速算.
定理2:设有21-29中某数,则此数的平方等于此数与它个位数字之和的2倍乘以10,再加上此数个位数字的平方.
例2. ①282＝（28＋8）×2×10＋82
＝720＋64
＝784
②232＝（23＋3）×2×10＋32
＝520＋9
＝529
1-25以内整数的平方要熟记,它们是本文后面其它数字平方计算的基础,只要熟记25以内整数的平方值，我们就能快速地计算由26-200以内的整数的平方值
附11-25的平方值:
112＝121 122＝144 132＝169 142＝196 152＝225 162＝256 172＝289 182＝324 192＝361 202＝400 212＝441 222＝484 232＝529 242＝576 252＝625
Ⅱ.26-75以内整数平方的速算
定义1.若两数之和为50，则称此二数互余，其中一数为另一数的余数。
如17＋23＝50，则27与23互余，27的余数是23（或23的余数是27）。
定理3：设有26—75的某数，则此数的平方等于此数减去25再乘以100，并将所得结果加上此数余数的平方。
证：依题意：
a2＝[50－(50－a) 2]
＝502－2×50×(50－a)＋(50－a) 2
＝2500－100×(50－a)＋(50－a) 2
＝ (a－25)×100＋(50－a) 2
故命题成立。
说明：ⅰ）在计算26—50的平方时，直接使用公式：
a2＝(a－25)×100＋(50－a) 2 ⑴
ⅱ) 在计算26—50的平方时，因a＞50,50－a＜0,为避免负数计算，此公式变换为： a2＝(a－25)×100＋(a－50) 2 ⑵
例3.求以下整数的平方
1）382 2）472 3）582 4）692
解：1）382＝(38－25)×100＋(50－38) 2
＝1300＋122
＝1300＋144
＝1444
2）472＝(47－25)×100＋(50－47) 2
＝2200＋32
＝2200＋9
＝2209
3）582＝(58－25)×100＋(58－50) 2
＝3300＋82
＝3300＋64
＝3364
4）692＝(69－25)×100＋(69－50) 2
＝4400＋192
＝4400＋361
＝4761
Ⅲ.76—125以内的数的平方的速算
定义2. 若两数之和为100，则称此二数互补，其中一数为另一数的补数。
如：94＋6＝100，则94与6互余，94的补数是6（或6的补数是94）。
定理4：设有76--125某数，则此数的平方等于此数减去其补数（或将此数的2倍减去100）再乘以100，并将所得结果加上其补数的平方。
证：依题意：
a2＝[100－(100－a) 2]
＝1002－2×100×(100－a)＋(100－a) 2
＝(2a－100)×100＋(100－a) 2
＝[a－(100－a)]×100＋(100－a) 2
故命题得证。
说明：ⅰ）在计算76—100的平方时，直接使用公式：
a2＝[a－(100－a)]×100＋(100－a) 2 ⑴
ⅱ) 在计算101—125的平方时，由于a＞100,100－a＜0,为避免负数计算，此公式变换为：
a2＝[a＋(a－100)]×100＋(a－100) 2 ⑵
例4.求以下整数的平方
1）892 2）972 3）1082 4）1242
解：1）892＝[89－(100－89)]×100＋(100－89) 2
＝（89－11）×100＋112
＝7800＋121＝7921
2）972＝[97－(100－97)]×100＋(100－97) 2
＝（97－3）×100＋32
＝9400＋9
＝9409
3）1082＝[108＋(108－100)]×100＋(108－100) 2
＝（108＋8）×100＋82
＝11600＋64
＝11664
4）1242＝[124＋(124－100)]×100＋(124－100) 2
＝（124＋24）×100＋242
＝14800＋576
＝15376
Ⅳ.126—200以内整数的平方的速算
定理5：设有126—200中某数，则此数的平方等于此数加上其百位数字之后的两位整数乘以100，再与两位整数的平方之和。
证：依题意：
a2＝[100＋(a－100)] 2
＝1002＋2×100×(a－100)＋(a－100) 2
＝[100＋2×(a－100)]×100＋(a－100) 2
＝[a＋(a－100)]×100＋(a－100) 2
故命题成立。
由于126≤a≤200，且a为整数，26≤a－100≤100，所以（a－100）2的计算实际上就化解为求26至100的平方的计算，而26—100的平方我们已经会计算了。
例5.求以下整数的平方
1）1572 2）1732 3）1962
解：1）1572＝（157＋57）×100＋572
＝21400＋3249
＝24649
2）1732＝（173＋73）×100＋732
＝24600＋5329
＝29929
3）1962＝（196＋96）×100＋962
＝29200＋9216
＝38416
亲爱的朋友，你能运用上面的定理（或者公式）迅速地求出下列整数的平方吗？
392，472，542，722，882，962，1172，1232，1482，1872，1972