线性方程组解法
直接法:
1. 高斯约旦消去法 Gauß-Jordan-Algorithmus
求解Ax=b,将A变换为单位矩阵,右边的向量即为所求解x
可选的操作方法,如果对角线上的数值为0,可以调整矩阵A某两行的顺序,x和b的顺序不变。(换行)
2. 高斯消去回代法 Gaußsches Eliminationsverfahren mit Rückwärtseinsetzen
求解Ax=b,将A变换为上三角矩阵(正代),然后从下向上求解未知量(回代)
3. LR分解 QR-Zerlegung
求解Ax=b,将A进行三角分解,变为下三角矩阵和上三角矩阵的乘积,即A=LR,方程Ax=b 换为 L(Rx)=b。
首先求解Ly=b得到y,然后求解Rx=y得到x。
迭代法:x(neu) = M x(alt) + Nb
4. 高斯-赛德尔迭代法 Gauß-Seidel-Verfahren
分解A=L+D+U,其中L为下三角矩阵,D为对角线,U为上三角矩阵。
定义Dx(neu) = b − Lx(neu) − Ux(alt) 或者 M = -(D+L)(-1) U 和 N = (D+L)(-1)
通过初始向量x0,进行迭代,知道误差小于允许误差。
5. 雅可比迭代法 Jacobi-Verfahren
定义Dx(neu) = b- (L+U) x(alt) 或者 M = D(-1) (D-A)=1-D(-1) A 和 N = D(-1)
6. Successive Over-Relaxation-Verfahren SOR-Verfahren
7. Verfahren der konjugierten Gradienten CG-Verfahren
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