一题多解 工程
【分析1】把这项工程看作整体“1”,甲每天完成工程的
【解法1】两队合做1天完成的工程?
两队合做多少天完成这项工程?
1÷
综合算式: 1÷(
=1÷
【分析2】用最小公倍解法.因为12和10的最小公倍数是60,所以可假设这项工程为60.那么甲队工作效率为60÷12=5,乙队工作效率为60÷10=6,甲乙合做效率为5+6=11.用总工作量60除以甲乙效率和11,即得两队合做完成这个工程的天数.
【解法2】假设这项工程总工作量为60.
60÷(60÷12+60÷10)
=60÷(5+6)=60÷11=
【分析3】由题意可知,甲队每天的工作量,乙队
【解法3】 10÷(1+10÷12)
=10÷(1+
【分析4】甲队12天的工作量,乙队10天即可完成,所以乙队1天的工作量,甲队要用
【解法4】 12÷(1+12÷10)
=12÷(1+
=12÷
答:两队合做
【评注】解法1是工程应用题的一般解法,易于理解.是较好的解法。解法2是利用求公倍数法解工程应用题,这种解法其实是假设解法,读者可根据实际情况选择恰当的数假设为总工程量.
例2 一列货车与一列客车同时从甲、乙两站相对开出,经过9小时相遇,相遇后两车都继续以原速前进。已知货车又行了6小时到达乙站,问客车行完全程需要几小时?
【分析1】把甲乙两站全程看作标准“1”.两车同行1小时行完全程的
【解法1】 1÷(
=1÷
【分析2】货车行全程需9+6=15(小时),9和15的最小公倍数是45,所以两站全程可假设为45,那么两车同时行1小时可行45÷9=5,货车1小时可行45÷15=3,所以客车每小时可行5-3=2.甲乙两站全程45内包含多少个2,就是客车行全程需要多少小时.
【解法2】假设甲乙两站全程为45.
45÷[45÷9-45÷(9+6)]
=45÷[45÷9-45÷15]
=45÷[5-3]=
【分析3】两车9小时行完的路程,货车要用9+6=15(小时)行完.而客车9小时行完的路程,货车只需6小时行完.那么货车1小时行完的路程,客车需要9÷6=1.5(小时).所以货车15小时的行程,客车需要1.5×15=22.5(小时).
【解法3】 9÷6×(9+6)
=9÷6×15=1.5×15=22.5(小时).
【分析4】两车同时行全程需9小时,货车行全程需要9+6=15(小时),那么客车行9小时恰好行完全程的
【解法4】 1÷(
=1÷(
=1÷
【分析5】把客车行完全程需要的时间看作“1”.货车行全程需9+6=15(小时),而货车6小时的行程和客车9小时的行程恰好相同,由此可求出客车9小时行全程的
【解法5】 9÷(
=9÷(
答:客车行完全程需要
【评注】比较以上五种解法,解法1是工程应用题的一般解法,思路简明清晰,易于理解和掌握;解法5是运用分数除法应用题的解法,更有益于理解工程应用题,且运算简便,这两种解法是本题的较好解法.
例3 一件工作,甲乙合做8天可以完成,甲独做12天可以完成.现在甲乙合做若干天后,余下的由乙继续做3天才完成.乙一共做了多少天?
【分析1】乙每天完成这件工作的
【解法1】 [1-(
=[1-
=[1-
=
【分析2】根据“甲乙合做的工作量与乙独做完成工作量的和等于总工作量”这一等量关系列方程,先求乙先做了几天,再加上3天即得乙共做了多少天.
【解法2】设甲乙合做了x天.
x=7
7+3=10
【分析3】假设总工作量为24,那么甲乙效率和是24÷8=3,甲的效率是24÷12=2,所以乙的效率是3-2=1,它3天完成了1×3=3.因此,甲乙合做(24-3)÷3=7(天),即乙先做了7天,再加上3天即得乙共做的天数.
【解法3】假设工作总量为24.
[24-(24÷8-24÷12)×3]÷(24÷8)+3
=[24-(3-2)×3)÷3+3
=[24-3]÷3+3
=21÷3+3=10(天).
【分析4】假设甲乙合做了5天,那么比实际少完成1-
【解法4】假设甲乙合做了5天.
[1-
=[1-
=
答:乙一共做了10天.
【评注】解法1和解法2是较好的解法.解法1是工程应用题的一般解法,虽思路较繁,但容易想到.
例4 如图是表示甲、乙、丙三个工程队单独完成某项工程所需天数的条形图.请计算:甲、乙两队合做4天后,剩下的工程由丙队做,丙队还要做几天才能完成任务?
【分析1】先求出甲、乙两队合做 4天完成了工程的几分之几,再求剩下的工程,再除以丙队每天的工作量
【解法1】甲、乙合做4天完成的工程?
剩下的工程有多少?
1-
丙队还要几天完成?
综合算式: [1-
=[1-
=[1-
=
【分析2】先求出甲、乙合做4天的工作量由丙队独做需要几天,再用丙独做全工程用的15天减去这个天数,即得丙队还要做的天数.
【解法2】甲、乙合做4天完成多少?
甲、乙合做的工程由丙独做需几天?
剩下的工程丙队还要几天完成?
15-11=4(天)
综合算式: 15-
=15-
=15-
=15-11=4(天).
【分析3】把丙队独做全工程需用天数看作“1”.先求出甲、乙合做后剩下的工程,即丙队还要做天数的对应分率,最后求出剩下工程丙队还需几天完.
【解法3】甲、乙合做了工程的几分之几?
还剩下全工程的几分之几?
1-
丙队完成剩下的工程还需几天?
15×
综合算式: 15×[1-
=15×[1-
=15×
【分析4】根据“剩下工程=总工程-甲乙合做的工程”这一等量关系,列方程解.
【解法4】设丙队还要x天完成.
x=
x=4
答:丙队还要做4天才能完成任务.
【评注】比较以上四种解法,解法1和解法3是较好的解法.解法1是解工程应用题的一般方法,容易理解.解法3是运用分数乘法应用题的解法,比解法1的思路更直接.另外,本题还可用最小公倍法和正比例来解,读者可试解一下.
例5 一项工程,甲、乙两队合做20天完成.已知甲、乙两队工作效率的比是4∶5.甲乙两队单独完成这项工程各需要多少天?
【分析1】甲乙两队的工作效率和是
【解法1】甲队每天完成多少工程?
乙队每天完成多少工程?
甲队独做全工程需几天?
1÷
乙队独做全工程需几天?
1÷
综合算式:甲队:1÷(
乙队:1÷(
【分析2】因为“工作量÷工作效率=工作时间”,工作时间一定,所以工作量和工作效率成正比例.即甲乙两队工作量的比是4∶5,所以甲20天完成了全工程的
【解法2】甲队独做全工程需要多少天?
20÷
乙队独做全工程需要多少天?
20÷
【分析3】由分析2可知,甲乙完成工作量的比是4∶5.因为他们的工作效率一定,所以他们各自完成的工作量与所需的时间成正比例.由此可分别列比例式,求出两队的独做时间.
【解法3】设甲队独做需x天完.
20∶4=x∶(4+5)
4x=20×9
x=20×9÷4
x=45
设乙队独做全工程需要y天.
20∶5=y∶(4+5)
5y=20×9
y=20×9÷5
y=36
答:略.
【评注】解法1是解工程应用题的一般方法,易于理解,但思路较曲折.解法2是运用分数除法应用题的方法来解的,思路简单明白,运算也较简便,是本题的较好解法.解法3虽与解法2的思路、方法都不同,但两者的数量关系是相同的.
例6 修一段公路,甲队单独修需要16小时完工.甲乙两队合修4小时后,剩下的由乙队又用
【分析1】乙队先后共修了4+
【解法1】乙队共修了全长的几分之几?
1-
乙队先后共修了几小时?
4+
乙队每小时修全长的几分之几?
乙队独修全长需几小时?
1÷
综合算式: 1÷[(1-
=1÷[(1-
=1÷[
=1÷
【分析2】把乙队独修全长需要的时间看作“1”.由分析1可知,乙队先后共修了
【解法2】 (4+
=
【分析3】根据“甲队修路+乙队修路=全路长”这一等量关系列方程解.
【解法3】设乙队独修需x小时完.
x=1÷
x=14
答:这段公路由乙队独修需14小时完工.
【评注】比较以上三种解法,解法2的思路最简捷,运算最简便,是本题的最佳解法.
例7 一项工程甲队单独做要15天才能完成,乙队单独做12天才能完成,如果甲队先做3天后,剩余的工作两队同时去做,还要多少天可以完成?
【分析1】先求出甲队先完成了工程的几分之几,那么即可求出剩下的工程,再用剩下的工程除以甲、乙队的工作效率和,即得甲、乙队合做还要多少天完.
【解法1】甲队先做了多少?
剩余的工作有多少?
1-
两队合做还要多少天完?
综合算式: (1-
=(1-
=
【分析2】把两队合做全工程的时间看作“1”.先求出两队做全工程需要多少天,再求剩余的工程是全工程的几分之几,最后求出两队还要多少天完成.
【解法2】甲乙合做全工程需要几天?
1÷(
两队要合做全工程的几分之几?
1-
两队还要多少天可以完成?
综合算式: 1÷(
=1÷
=
【分析3】根据“甲队先做的工作量+两队合做的工作量=工作总量”列方程解.
【解法3】设两队还要x天完成.
x=(1-
x=
【分析4】剩余的工作由甲独做要用15-3=12(天).把剩余的工作看作定量,那么所需的时间和工作效率成反比例.由此列方程解.
【解法4】设两队合做还要x天完.
x=
x=
答:剩余的工作两队还要
【评注】以上四种解法各有特点.解法1是一般解法,最容易想到,运算较简便,是较好的解法.解法2是分数应用题的解法,思路更直接.解法3和解法4都是方程解法,但等量关系不同.读者可灵活选用.
例8 仓库有45吨化肥,甲汽车单独运10小时完成,乙汽车单独运15小时完成.用甲乙两辆汽车同时运,多少小时可以运完?
【分析1】先求两车每小时各运多少吨,再求两车每小时共运多少吨,最后用总吨数除以两车每小时运的,即得两车同运所需时间.
【解法1】甲车每小时运多少吨?
45÷10=4.5(吨)
乙车每小时运多少吨?
45÷15=3(吨)
两车每小时运多少吨?
4.5+3=7.5(吨)
两车同时运需几小时运完?
45÷7.5=6(小时)
综合算式: 45+(45÷10+45÷15)
=45÷(4.5+3)
=45÷7.5=6(小时)。
【分析 2】先求出两车每小时共运总吨数的几分之.几?再求两车每小时共运多少吨,再看总吨数里包含几个这样的吨数,就是两队合运需几小时.
【解法2】两车每小时运货的几分之几?
两车每小时运货多少吨?
45×
两车合运几小时完成?
45÷7.5=6(小时)
综合算式: 45÷[45×(
=45÷[45÷
=45÷7.5=6(小时).
【分析3】甲车每小时运化肥的
【解法3】1÷(
【分析4】根据“甲车运肥+乙车运肥=化肥总量”这一等量关系列方程解.
【解法4】设两车同运x小时完.
(
x=1÷
x=6
或 (
x=1÷(
x=6
答:两车同时运6小时可以完成.
【评注】比较以上四种解法,解法3的思路最简捷,运算最简便,是本题的最佳解法.
例9 甲乙两地相距630千米,客车和货车同时从两地出发,相向而行.客车行完全程需14小时,货车行完全程需21小时.两车相遇时各行了多少千米?
【分析1】先求客车和货车的速度各多少,再求两车的相遇时间,最后用两车的速度分别乘以相遇时间,即得每车各行多少千米.
【解法1】客车每小时行多少千米?
630÷14=45(千米)
货车每小时行多少千米?
630÷21=30(千米)
两车几小时相遇?
630÷(45+30)=
相遇时客车行多少千米?
45×
相遇时货车行多少千米?
30×
综合算式:
客车: 630÷14×[630÷(630÷14+630÷21)]
=45×[630÷(45+30)]
=45×
货车: 630-378=252(千米)
【分析2】先求出甲车的速度,再运用工程应用题的解法求两车的相遇时间,然后用甲车速度乘以相遇时间即得甲车行多少千米.最后再求货车的行程.
【解法2】客车每小时行多少千米?
630÷14=45(千米)
两车几小时相遇?
1÷(
客车行了多少千米?
45×
货车行多少千米?
630-378=252(千米)
综合算式:
客车:(630÷14)×[1÷(
=45×[1÷
货车:630-378=252(千米)
【分析3】 因为“路程÷速度=时间”,时间一定,所以客车和货车的路程比等于速度比即
【解法3】客车与货车所行路程的比?
客车行了多少千米?
630×
货车行了多少千米?
630×
综合算式:客车:630×
货车:630×
答:略.
【评注】比较以上三种解法,解法1最繁,但其思维难度小,也最容易想到.解法3的思路简单明白,运算最简便,是本题最佳解法.如果由分析3继续分析,运用分数应用题解法也可求出两车各行多少千米.
例10 一项工程,甲单独做40天完成,乙单独做30天完成,二人合做若干天后,甲临时调走,乙继续完成这项工程,一共用27天.求乙单独工作了多少天?
【分析1】把全工程看作“1”.先求出乙共完成的工程,再求出甲完成的工程,然后再除以甲的工作效率即得甲做了几天,即甲乙合做的天数.最后用27天减去甲乙合做的天数,即得乙单独做了多少天.
【解法1】 乙共完成工程的几分之几?
甲完成了工程的几分之几?
1-
甲乙合做了多少天?
乙单独做了多少天?
27-4=23(天)
综合算式: 27-(1-
=27-
=27-4=23(天).
【分析2】假设甲没有被调走,那么甲乙合做27天要超过全工程的(
【解法2】甲乙的效率和是多少?
甲乙合做27天完成工程的几分之几?
超过全工程的几分之几?
乙单独工作了多少天?
综合算式: [(
=[
=[
=
【分析3】 根据“甲乙合做的工作量+乙单独做的工作量=总工作量”列方程解.
【解法 3】设乙单独工作了x天.
(
(
x=23
【分析4】 甲乙合做全工程需要1÷(
【解法4】 甲乙合做全工程需几天?
1÷(
全工程延长了几天?
27-
乙
乙单独做了几天?
【分析5】假设乙独做27天完成全工程,那么比它实际每天多做全工程的
【解法5】 27-(
=27-
=27-4=23(天).
答:乙单独工作了23天.
【评注】比较以上五种解法,解法1、解法2、解法5各有特点,是本题的较好解法.读者可根据实际情况,选择合适的方法.